Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano ty em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
y^prime=(t^2+y^2)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede: para a EDO y'=(t^2+y^2)^3/2, encontre regiões do plano ty onde, dado um ponto inicial arbitrário (t0,y0), a existência local e unicidade de solução esteja garantida. O conteúdo aqui é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de f(t,y) e de partial f/partial y.

Passo 2

Definimos f(t,y)=(t^2+y^2)^3/2. Observamos que f(t,y) é composta por operações contínuas (soma, elevação ao quadrado e raiz) e, portanto, é contínua para todo (t,y)inR^2.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(t,y)=3y,(t^2+y^2)^1/2
Essa expressão também é feita por operações contínuas e, assim, é contínua em todo R^2.

Passo 4

Como ambas as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de f e de partial f/partial y) valem em qualquer retângulo aberto de R^2, concluímos que, dado qualquer ponto inicial (t0,y0), existe uma vizinhança retangular onde há solução local única.

Passo 5

Portanto, podemos escolher arbitrariamente valores a>0 e b>0 e garantir existência e unicidade em qualquer região do tipo
(t,y):|t-t0|
o que mostra que o domínio de garantia é todo o plano R^2 (ou qualquer região aberta contendo (t0,y0))."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["O enunciado pede: para a EDO $y

Passo 6

O enunciado pede: para a EDO y'=(t^2+y^2)^3/2, encontre regiões do plano ty onde, dado um ponto inicial arbitrário (t0,y0), a existência local e unicidade de solução esteja garantida. O conteúdo aqui é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de f(t,y) e de partial f/partial y.
Definimos f(t,y)=(t^2+y^2)^3/2. Observamos que f(t,y) é composta por operações contínuas (soma, elevação ao quadrado e raiz) e, portanto, é contínua para todo (t,y)inR^2.

Passo 7

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(t,y)=3y,(t^2+y^2)^1/2
Essa expressão também é feita por operações contínuas e, assim, é contínua em todo R^2.

Passo 8

Como ambas as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de f e de partial f/partial y) valem em qualquer retângulo aberto de R^2, concluímos que, dado qualquer ponto inicial (t0,y0), existe uma vizinhança retangular onde há solução local única.

Passo 9

Portanto, podemos escolher arbitrariamente valores a>0 e b>0 e garantir existência e unicidade em qualquer região do tipo
(t,y):|t-t0|
o que mostra que o domínio de garantia é todo o plano R^2 (ou qualquer região aberta contendo (t0,y0)).

Resposta

Qualquer região aberta de R^2 contendo (t0,y0), por exemplo um retângulo (t,y):|t-t0|, garante existência local única pela continuidade de f(t,y)=(t^2+y^2)^3/2 e de partial f/partial y.

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