Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano
em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
.
Passo 1
O enunciado pede: para a EDO
, encontre regiões do plano
onde, dado um ponto inicial arbitrário
, a existência local e unicidade de solução esteja garantida. O conteúdo aqui é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de
e de
.
Passo 2
Definimos
. Observamos que
é composta por operações contínuas (soma, elevação ao quadrado e raiz) e, portanto, é contínua para todo
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Essa expressão também é feita por operações contínuas e, assim, é contínua em todo
.
Passo 4
Como ambas as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de
e de
) valem em qualquer retângulo aberto de
, concluímos que, dado qualquer ponto inicial
, existe uma vizinhança retangular onde há solução local única.
Passo 5
Portanto, podemos escolher arbitrariamente valores
e
e garantir existência e unicidade em qualquer região do tipo
o que mostra que o domínio de garantia é todo o plano
(ou qualquer região aberta contendo
)."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["O enunciado pede: para a EDO $y
Passo 6
O enunciado pede: para a EDO
, encontre regiões do plano
onde, dado um ponto inicial arbitrário
, a existência local e unicidade de solução esteja garantida. O conteúdo aqui é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige continuidade de
e de
.
Definimos . Observamos que
é composta por operações contínuas (soma, elevação ao quadrado e raiz) e, portanto, é contínua para todo
.
Definimos
Passo 7
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Essa expressão também é feita por operações contínuas e, assim, é contínua em todo
.
Passo 8
Como ambas as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de
e de
) valem em qualquer retângulo aberto de
, concluímos que, dado qualquer ponto inicial
, existe uma vizinhança retangular onde há solução local única.
Passo 9
Portanto, podemos escolher arbitrariamente valores
e
e garantir existência e unicidade em qualquer região do tipo
o que mostra que o domínio de garantia é todo o plano
(ou qualquer região aberta contendo
).
Resposta
Qualquer região aberta de
contendo
, por exemplo um retângulo
, garante existência local única pela continuidade de
e de
.