Determine os intervalos de definição de cada uma das soluções do ítem anterior.
Passo 1
A questão pede os intervalos de definição de cada solução do PVI
No item anterior encontramos duas soluções que satisfazem esse PVI:
y1(t)=-tfract^24
y2(t)=-t+1
Agora queremos ver em que intervalos cada uma delas é válida, levando em conta a raiz raizt^2+4y.
Passo 2
Para y1(t)=-tfract^24 substituímos em t^2+4y e vemos que sempre
t^2+4l(-tfract^24r)=0,raiz0=0
O lado direito da EDO fica bem definido e igual a (-t+0)/2=-t/2, que coincide com y1'(t)=-t/2. Não há restrição de domínio, então y1 existe para todo tinR.
Passo 3
Para y2(t)=-t+1 calculamos
t^2+4y2(t)=t^2+4(-t+1)=(t-2)^2>=0
Mas, para usar a raiz principal raiz(t-2)^2=t-2 (e não -(t-2)), precisamos de t-2>=0, ou seja t>=2. Nesse intervalo a EDO é satisfeita, pois
dy2dt=-1=-t+(t-2)2se e somente se t>=2
Passo 4
Portanto concluímos os domínios de definição de cada solução.
Resposta
A solução y1(t)=-tfract^24 está definida para todo tin(-infty,infty), e a solução y2(t)=-t+1 está definida para tin[2,infty).