Considere o PVI
Determine os intervalos de definição de cada uma das soluções do ítem anterior.

Passo 1

A questão pede os intervalos de definição de cada solução do PVI
dydt=-t+raizt^2+4y2, y(2)=-1
No item anterior encontramos duas soluções que satisfazem esse PVI:
  1. y1(t)=-tfract^24
  2. y2(t)=-t+1
    Agora queremos ver em que intervalos cada uma delas é válida, levando em conta a raiz raizt^2+4y.

Passo 2

Para y1(t)=-tfract^24 substituímos em t^2+4y e vemos que sempre
t^2+4l(-tfract^24r)=0,raiz0=0
O lado direito da EDO fica bem definido e igual a (-t+0)/2=-t/2, que coincide com y1'(t)=-t/2. Não há restrição de domínio, então y1 existe para todo tinR.

Passo 3

Para y2(t)=-t+1 calculamos
t^2+4y2(t)=t^2+4(-t+1)=(t-2)^2>=0
Mas, para usar a raiz principal raiz(t-2)^2=t-2 (e não -(t-2)), precisamos de t-2>=0, ou seja t>=2. Nesse intervalo a EDO é satisfeita, pois
dy2dt=-1=-t+(t-2)2se e somente se t>=2

Passo 4

Portanto concluímos os domínios de definição de cada solução.

Resposta

A solução y1(t)=-tfract^24 está definida para todo tin(-infty,infty), e a solução y2(t)=-t+1 está definida para tin[2,infty).

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