Justifique que não existe solução para a equação
, onde
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial de primeira ordem
, com
não admite nenhuma solução. Isto envolve a ideia de que, onde a derivada é zero, a função deve ser constante, e também que uma função derivável é contínua.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista uma função
derivável em todo
tal que
para todo
. Como
para
, pelo teorema fundamental do cálculo ou pela caracterização de derivadas nulas, concluímos que
- em
, implica para algum constante, - em
, implica para algum constante.
Passo 3
Como
é derivável em
, ela é contínua em
. Portanto
daí
. Logo
é a mesma constante
em todo
. Mas isso implica
pois a derivada de uma constante é zero, o que contradiz
.
Passo 4
Portanto nossa hipótese inicial (de que existe
com
) leva a uma contradição. Concluímos que não existe solução para essa equação diferencial.
Resposta
Não existe nenhuma função derivável
tal que
, pois isso levaria à contradição
.