Justifique que não existe solução para a equação y^prime=f(t), onde

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial de primeira ordem y'=f(t), com
f(t)=0,&se tneq01,&se t=0
não admite nenhuma solução. Isto envolve a ideia de que, onde a derivada é zero, a função deve ser constante, e também que uma função derivável é contínua.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que exista uma função y: Rto R derivável em todo R tal que y'(t)=f(t) para todo t. Como f(t)=0 para tneq0, pelo teorema fundamental do cálculo ou pela caracterização de derivadas nulas, concluímos que
  • em y'(t)=0, y(t)=C1 implica C1 para algum (0,+infty) constante,
  • em y'(t)=0, y(t)=C2 implica C2 para algum constante.

Passo 3

Como y é derivável em t=0, ela é contínua em 0. Portanto
limtto0^-y(t)=y(0)=limtto0^+y(t)
daí C1=y(0)=C2. Logo y(t) é a mesma constante C1 em todo R. Mas isso implica
y'(0)=0,
pois a derivada de uma constante é zero, o que contradiz f(0)=1.

Passo 4

Portanto nossa hipótese inicial (de que existe y com y'=f) leva a uma contradição. Concluímos que não existe solução para essa equação diferencial.

Resposta

Não existe nenhuma função derivável y tal que y'=f(t), pois isso levaria à contradição y'(0)=0neq f(0)=1.

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