Prove que
define uma relação de equivalência no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede pra provar que a relação “(x,y) está em relação com (x′,y′) se e só se x·y′ = x′·y” em ℤ×ℤ* é uma relação de equivalência. O conteúdo aqui é equivalência de pares de inteiros e vamos usar as propriedades de igualdade e de multiplicação em ℤ (com ℤ* = ℤ{0}).
Passo 2
Reflexividade: Para todo (x,y) em ℤ×ℤ*, basta notar que
logo (x,y)∼(x,y).
Passo 3
Simetria: Se (x,y)∼(x′,y′), então por definição
Mas igualdade é simétrica, então
Passo 4
Transitividade: Suponha (x,y)∼(x′,y′) e (x′,y′)∼(x’’,y’’). Então
Multiplicando a primeira igualdade por y’’ e a segunda por y, obtemos:
Como em ℤ a multiplicação é comutativa, y·y’’ = y’’·y, podemos cancelar esse termo comum e ficar com
Resposta
Como a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, ela é de equivalência em ℤ×ℤ*.