Prove que (x, y) sim(x^prime, y^prime) Leftrightarrow x y^prime=x^prime y define uma relação de equivalência no conjunto Z x Z^*.

Passo 1

O enunciado pede pra provar que a relação “(x,y) está em relação com (x′,y′) se e só se x·y′ = x′·y” em ℤ×ℤ* é uma relação de equivalência. O conteúdo aqui é equivalência de pares de inteiros e vamos usar as propriedades de igualdade e de multiplicação em ℤ (com ℤ* = ℤ{0}).

Passo 2

Reflexividade: Para todo (x,y) em ℤ×ℤ*, basta notar que
xcdot y = xcdot y,
logo (x,y)∼(x,y).

Passo 3

Simetria: Se (x,y)∼(x′,y′), então por definição
xcdot y' = x'cdot y
Mas igualdade é simétrica, então
x'cdot y = xcdot y',o que diz que (x′,y′)∼(x,y).

Passo 4

Transitividade: Suponha (x,y)∼(x′,y′) e (x′,y′)∼(x’’,y’’). Então
x,y' = x',y e x',y'' = x'',y'
Multiplicando a primeira igualdade por y’’ e a segunda por y, obtemos:
x,y',y'' = x',y,y'' e x',y'',y = x'',y',y
Como em ℤ a multiplicação é comutativa, y·y’’ = y’’·y, podemos cancelar esse termo comum e ficar com
x,y'' = x'',y,o que mostra (x,y)∼(x’’,y’’).

Resposta

Como a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, ela é de equivalência em ℤ×ℤ*.

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