Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
é o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o professor propôs. A questão pede para calcular a integral
ao longo da curva
, que é o círculo definido por
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente saber como parametrizar uma curva e calcular o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo
. Esse é um círculo de raio 2 centrado na origem. Uma maneira fácil de fazer isso é usando coordenadas polares, ou seja, expressando
e
em termos de um ângulo
que varia de
a
.
Passo 3
Então, vamos definir:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
, completando uma volta completa no círculo.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o diferencial de arco
. Sabemos que:
Vamos calcular as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Vamos simplificar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para integrar
, lembramos que:
Então, a integral se torna:
Integrando:
Resposta
A integral
ao longo do círculo
é igual a 0.