Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
ointgamma(x^2-y^2) d s gamma é o círculo x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o professor propôs. A questão pede para calcular a integral ointgamma(x^2-y^2) d s ao longo da curva gamma, que é o círculo definido por x^2 + y^2 = 4. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente saber como parametrizar uma curva e calcular o elemento de arco ds.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x^2 + y^2 = 4. Esse é um círculo de raio 2 centrado na origem. Uma maneira fácil de fazer isso é usando coordenadas polares, ou seja, expressando x e y em termos de um ângulo theta que varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Então, vamos definir:
x = 2 cos theta y = 2 sin theta
Aqui, theta é o parâmetro que varia de 0 a 2pi, completando uma volta completa no círculo.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco ds. Sabemos que:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 dtheta
Vamos calcular as derivadas:
dxdtheta = -2 sin theta dydtheta = 2 cos theta
Então:
ds = raiz(-2 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 dtheta = raiz4 sin^2 theta + 4 cos^2 theta dtheta = raiz4 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta = raiz4 cdot 1 dtheta = 2 dtheta

Passo 5

Agora, substituímos x, y e ds na integral original:
ointgamma(x^2-y^2) d s = integral0^2pi ((2 cos theta)^2 - (2 sin theta)^2) cdot 2 dtheta
Vamos simplificar dentro da integral:
(2 cos theta)^2 - (2 sin theta)^2 = 4 cos^2 theta - 4 sin^2 theta = 4 (cos^2 theta - sin^2 theta)
Então, a integral fica:
integral0^2pi 4 (cos^2 theta - sin^2 theta) cdot 2 dtheta = 8 integral0^2pi (cos^2 theta - sin^2 theta) dtheta

Passo 6

Para integrar cos^2 theta - sin^2 theta, lembramos que:
cos^2 theta - sin^2 theta = cos(2theta)
Então, a integral se torna:
8 integral0^2pi cos(2theta) dtheta
Integrando:
8 [ sin(2theta)2 ]0^2pi = 4 [ sin(4pi) - sin(0) ] = 4 (0 - 0) = 0

Resposta

A integral ointgamma(x^2-y^2) d s ao longo do círculo x^2+y^2=4 é igual a 0.

Exercícios relacionados