Considere o PVI
& y^prime+14 y=3+2 cos (2 x) & y(0)=0
Determine a sua solução

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) que é uma EDO linear de primeira ordem: y′+\frac{1}{4}y=3+2\cos(2x), com condição y(0)=0. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos que o coeficiente de y é p(x)=1/4. Logo o fator integrante é μ(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{x/4}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(x):
e^x/4y'+14e^x/4y = e^x/4(3+2cos(2x))
O lado esquerdo é a derivada de e^{x/4}y, isto é (e^{x/4}y)’.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
e^x/4y = integral e^x/4(3+2cos(2x)),dx + C
Dividimos a integral em duas partes: I_1=\int3e^{x/4}dx e I_2=2\int e^{x/4}\cos(2x)dx.

Passo 5

Calculamos I_1 facilmente:
I1=3integral e^x/4dx=3cdot4e^x/4=12e^x/4
Para I_2 usamos a fórmula \int e^{ax}\cos(bx)dx = e{ax}(a\cos(bx)+b\sin(bx))/(a2+b^2). Aqui a=1/4 e b=2.

Passo 6

Logo
I2=2times e^x/4l(14cos(2x)+2sin(2x)r)(1/4)^2+2^2 =865e^x/4cos(2x)+6465e^x/4sin(2x)
Somando I_1 e I_2, temos
e^x/4y =12e^x/4+865e^x/4cos(2x)+6465e^x/4sin(2x)+C

Passo 7

Isolando y:
y=12+865cos(2x)+6465sin(2x)+Ce^-x/4
Usamos a condição inicial y(0)=0 para achar C:
0=12+865+Cimplies C=-12-865=-78865

Resposta

y(x)=12+865cos(2x)+6465sin(2x)-78865e^-x/4

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