Considere o PVI
Determine a sua solução
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) que é uma EDO linear de primeira ordem: y′+\frac{1}{4}y=3+2\cos(2x), com condição y(0)=0. Vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Identificamos que o coeficiente de y é p(x)=1/4. Logo o fator integrante é μ(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{x/4}.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(x):
O lado esquerdo é a derivada de e^{x/4}y, isto é (e^{x/4}y)’.
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a x:
Dividimos a integral em duas partes: I_1=\int3e^{x/4}dx e I_2=2\int e^{x/4}\cos(2x)dx.
Passo 5
Calculamos I_1 facilmente:
Para I_2 usamos a fórmula \int e^{ax}\cos(bx)dx = e{ax}(a\cos(bx)+b\sin(bx))/(a2+b^2). Aqui a=1/4 e b=2.
Passo 6
Logo
Somando I_1 e I_2, temos
Passo 7
Isolando y:
Usamos a condição inicial y(0)=0 para achar C: