Considere a seguinte equação diferencial:
(x^2+225) d yd x+x y=0
Determine a solução geral desta equação. As soluções são cículos concêntricos? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que é assim:
(x^2+225) d yd x+x y=0
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar saber como manipular essa equação para encontrar a solução geral. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Queremos isolar dydx.
Dividindo ambos os lados por x^2 + 225, ficamos com:
dydx + xx^2 + 225 y = 0
Aqui, a equação está na forma:
dydx + P(x) y = 0
onde P(x) = xx^2 + 225.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
integral xx^2 + 225 dx
Fazendo uma substituição simples, deixe u = x^2 + 225, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx. Assim, a integral fica:
12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 225) + C
Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^12 ln(x^2 + 225) = raizx^2 + 225

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
raizx^2 + 225 cdot dydx + xraizx^2 + 225 y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( y cdot raizx^2 + 225 ) = 0
A ideia aqui é que a equação se tornou uma derivada de um produto igual a zero, o que facilita a solução.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( y cdot raizx^2 + 225 ) dx = integral 0 , dx
Isso resulta em:
y cdot raizx^2 + 225 = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y para obter a solução geral:
y = Craizx^2 + 225

Resposta

A solução geral da equação é:
y = Craizx^2 + 225
As soluções não são círculos concêntricos, pois a equação descreve curvas onde y varia inversamente com raizx^2 + 225, diferente da equação de círculos que tem a forma (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.

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