Considere a seguinte equação diferencial:
Determine a solução geral desta equação. As soluções são cículos concêntricos? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que é assim:
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar saber como manipular essa equação para encontrar a solução geral. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Queremos isolar
.
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Aqui, a equação está na forma:
onde
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que a equação se tornou uma derivada de um produto igual a zero, o que facilita a solução.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação é:
As soluções não são círculos concêntricos, pois a equação descreve curvas onde
varia inversamente com
, diferente da equação de círculos que tem a forma
.