Encontre a solução do PVI
& y^prime-tan (x) y-1cos (x)=0 & y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá um PVI de primeira ordem linear:
Temos
y' - tan(x),y = 1cos(x),
e a condição inicial y(0)=0. Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 2

Identificamos que o coeficiente de y é p(x) = -tan(x). O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -tan(x),dx
Como integral tan(x),dx = -ln|cos(x)|, obtemos
integral -tan(x),dx = ln|cos(x)| Longrightarrow mu(x)=cos(x)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=cos(x). Isso transforma o lado esquerdo em derivada do produto:
cos(x),y' - cos(x)tan(x),y = (cos(x),y)'
e o lado direito fica
cos(x)cdot 1cos(x) = 1
Então a equação passa a ser
(cos(x),y)' = 1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
cos(x),y = integral 1,dx = x + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=0:
Ao substituir x=0 temos
cos(0),y(0) = 1 cdot 0 = 0 = 0 + C Longrightarrow C=0
Logo,
cos(x),y = x Longrightarrow y(x)=xcos(x)

Resposta

A solução do PVI é y(x)=dfracxcos(x).

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