Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,0043% da quantidade inicial
de plutônio se desintegrou. Encontre a meios-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que permanece.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reator que transforma urânio-238 em plutônio-239. Depois de 15 anos, foi observado que 0,0043% da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir a meia-vida desse isótopo, sabendo que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta.
Matéria envolvida: Decaimento radioativo e meia-vida.
O que precisamos: Entender a relação entre a quantidade de substância que resta ao longo do tempo e sua meia-vida, utilizando a fórmula do decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no decaimento radioativo, a quantidade de substância que resta após um certo tempo pode ser descrita pela fórmula:
Onde:
- $ N(t) $ é a quantidade que resta após o tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a quantidade inicial.
- $ \lambda $ é a constante de decaimento.
- $ t $ é o tempo decorrido.
Passo 3
A meia-vida ($ t_{1/2} $) está relacionada à constante de decaimento pela fórmula:
Então, nossa estratégia será encontrar $ \lambda $ primeiro e depois usar essa relação para achar a meia-vida.
Passo 4
Segundo o enunciado, após 15 anos, 0,0043% da quantidade inicial se desintegrou. Isso significa que a quantidade que resta é:
Passo 5
Usando a fórmula do decaimento:
Substituindo $ N(15) $ e $ t = 15 $:
Podemos cancelar $ N_0 $ dos dois lados:
Passo 6
Para resolver para $ \lambda $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Passo 7
Agora, isolamos $ \lambda $:
Passo 8
Finalmente, usamos a relação entre meia-vida e constante de decaimento:
Resposta
A meia-vida do isótopo de plutônio-239 é aproximadamente 241.590 anos.