Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,0043% da quantidade inicial u0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meios-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que permanece.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reator que transforma urânio-238 em plutônio-239. Depois de 15 anos, foi observado que 0,0043% da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir a meia-vida desse isótopo, sabendo que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta.
Matéria envolvida: Decaimento radioativo e meia-vida.
O que precisamos: Entender a relação entre a quantidade de substância que resta ao longo do tempo e sua meia-vida, utilizando a fórmula do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no decaimento radioativo, a quantidade de substância que resta após um certo tempo pode ser descrita pela fórmula:
N(t) = N0 cdot e^-lambda t
Onde:
  • $ N(t) $ é a quantidade que resta após o tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial.
  • $ \lambda $ é a constante de decaimento.
  • $ t $ é o tempo decorrido.

Passo 3

A meia-vida ($ t_{1/2} $) está relacionada à constante de decaimento pela fórmula:
t1/2
Então, nossa estratégia será encontrar $ \lambda $ primeiro e depois usar essa relação para achar a meia-vida.

Passo 4

Segundo o enunciado, após 15 anos, 0,0043% da quantidade inicial se desintegrou. Isso significa que a quantidade que resta é:
N(15) = N0 - 0,0043% cdot N0 = N0 cdot (1 - 0,000043) = N0 cdot 0,999957

Passo 5

Usando a fórmula do decaimento:
N(t) = N0 cdot e^-lambda t
Substituindo $ N(15) $ e $ t = 15 $:
N(15)
Podemos cancelar $ N_0 $ dos dois lados:
t = 15

Passo 6

Para resolver para $ \lambda $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
lambda
Calculando o logaritmo:
ln(0,999957) = -15lambda

Passo 7

Agora, isolamos $ \lambda $:
lambda

Passo 8

Finalmente, usamos a relação entre meia-vida e constante de decaimento:
t1/2 = ln 2lambda = 0,69312,8667 times 10^-6 approx 241,590 , anos

Resposta

A meia-vida do isótopo de plutônio-239 é aproximadamente 241.590 anos.

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