Considere o PVI
Determine o comportamento da solução
no infinito.
Passo 1
Temos o PVI dado por
com condição inicial
. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, dividindo a solução em parte homogênea e parte particular.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
Essa é uma equação separável: ao reescrever como
e integrar, obtemos
onde
é constante a determinar.
Passo 3
Para a solução particular, observamos o termo não homogêneo
. Vamos supor
Calculamos
e substituímos em
:
Separando termos constantes e coeficientes de
e
, obtemos o sistema:
Da primeira equação vem
. Das outras duas, resolvemos para
e
:
Logo
Passo 4
A solução geral é
Para
temos
Então
Passo 5
Quando
, o termo
decai para zero. Sobra apenas a parte particular periódica:
Ou seja, a solução tende a uma oscilação periódica de período
em torno de 12.
Passo 6
Como conclusão, a solução não converge a um valor fixo, mas aproxima-se de uma função periódica com média 12 e amplitude
.
Resposta
Quando
, a solução assume a forma periódica
ou seja, oscila de modo limitado (período
) em torno de 12.