Considere o PVI
& y^prime+14 y=3+2 cos (2 x) & y(0)=0
Determine o comportamento da solução y(x) no infinito.

Passo 1

Temos o PVI dado por
y'+tfrac14y = 3 + 2cos(2x),
com condição inicial y(0)=0. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, dividindo a solução em parte homogênea e parte particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'h + tfrac14yh = 0
Essa é uma equação separável: ao reescrever como y'h = -tfrac14yh e integrar, obtemos
yh(x) = K e^-x/4,
onde K é constante a determinar.

Passo 3

Para a solução particular, observamos o termo não homogêneo 3 + 2cos(2x). Vamos supor
yp(x) = C + Acos(2x) + Bsin(2x)
Calculamos y'p e substituímos em y'+tfrac14y=3+2cos(2x):
y'p = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
y'p + tfrac14yp = (1),tfrac14C + (2),2B + (3),(-2A + tfrac14B) + (4),tfrac14A = 3 + 2cos(2x)
Separando termos constantes e coeficientes de cos(2x) e sin(2x), obtemos o sistema:
tfrac14C = 3,
2B + tfrac14A = 2,
-2A + tfrac14B = 0
Da primeira equação vem C=12. Das outras duas, resolvemos para A e B:
B = 8A,
l(tfrac14 +16r)A = 2 implies A = 865,
B = 6465
Logo
yp(x) = 12 + 865cos(2x) + 6465sin(2x)

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = K e^-x/4 + 12 + 865cos(2x) + 6465sin(2x)
Para y(0)=0 temos
0 = K + 12 + 865 implies K = -12 - 865 = -78865
Então
y(x) = -78865e^-x/4 + 12 + 865cos(2x) + 6465sin(2x)

Passo 5

Quando xtoinfty, o termo -tfrac78865e^-x/4 decai para zero. Sobra apenas a parte particular periódica:
y(x) sim 12 + 865cos(2x) + 6465sin(2x)
Ou seja, a solução tende a uma oscilação periódica de período pi em torno de 12.

Passo 6

Como conclusão, a solução não converge a um valor fixo, mas aproxima-se de uma função periódica com média 12 e amplitude raiz(8/65)^2 + (64/65)^2 = tfrac4raiz26065.

Resposta

Quando xtoinfty, a solução assume a forma periódica
y(x) = 12 + 865cos(2x) + 6465sin(2x)
ou seja, oscila de modo limitado (período pi) em torno de 12.

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