GRUPO 02- DERIVADAS (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
Calcule a derivada de f(x)=x^arctg 3 x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver esse tipo de função onde a base e o expoente são funções de , vamos precisar usar logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

Para facilitar a derivação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a transformar a função exponencial em uma forma mais manejável:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(f(x)) = ln(x^arctg(3x)) , podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a f'(x)f(x) = ddx [ arctg(3x) cdot ln(x) ] . Lembre-se que estamos usando a regra da cadeia e a regra do produto. A derivada de f'(x)f(x) = arctg(3x) cdot 1x + ln(x) cdot ddx arctg(3x) em relação a é . Do lado direito, aplicamos a regra do produto:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Sabemos que , onde ddx arctg(3x) = 31 + (3x)^2 = 31 + 9x^2 e f'(x)f(x) = arctg(3x)x + ln(x) cdot 31 + 9x^2 . Assim:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Finalmente, para encontrar f'(x) = x^arctg(3x) ( arctg(3x)x + 3 ln(x)1 + 9x^2 ) , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

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