Considere q(t) uma função tal que q(t)=0 para todo t<0. Defina em todo o intervalo real t in(-infty, infty) a função f(t):=q(t)+q(-t). Expresse f(s) e D(f) em termos de q(s) e D(q).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma função f(t)=q(t)+q(-t), que é zero sempre que . Aí definimos
valendo para todo . O que a gente quer é achar a transformada bilateral de Laplace e o conjunto de valores de em que essa transformada converge, , tudo em termos de e .
Matéria envolvida: transformada bilateral de Laplace, propriedade de linearidade e propriedade de reversão de tempo.

Passo 2

Primeiro, lembra que a transformada bilateral de Laplace de uma função hat g(s)=integral-infty^inftye^-st,g(t), dt é
hat f(s) =integral-infty^inftye^-stl[q(t)+q(-t)r] dt =underbraceintegral-infty^inftye^-stq(t), dthat q(s) ;+;underbraceintegral-infty^inftye^-stq(-t), dtI2
Pela linearidade, para a gente tem

Passo 3

Agora vamos calcular u=-tLongrightarrow t=-u, dt=- du . Fazemos a troca de variável
I2 =integralu=+infty^u=-inftye^-s(-u),q(u),(- du) =integral-infty^inftye^su,q(u), du =integral-infty^inftye^-(-s),u,q(u), du =hat q(-s)
Quando vai de a , também vai de a . Então
Ou seja, a propriedade de reversão de tempo transforma em .

Passo 4

Juntando tudo:
hat f(s)=hat q(s)+hat q(-s)

Passo 5

Agora o domínio de convergência D(hat f) =l,s:,sin D(hat q)r ;cap; l,s:,-sin D(hat q)r é o conjunto de onde ambas as integrais convergem. A primeira integral exige . A segunda exige , porque é justamente . Então

Resposta

boxed hat f(s)=hat q(s)+hat q(-s), D(hat f) = D(hat q),cap,l-s:,-sin D(hat q)r

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