Considere uma função tal que para todo . Defina em todo o intervalo real a função . Expresse e em termos de e .
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma função que é zero sempre que . Aí definimos
valendo para todo . O que a gente quer é achar a transformada bilateral de Laplace e o conjunto de valores de em que essa transformada converge, , tudo em termos de e .
Matéria envolvida: transformada bilateral de Laplace, propriedade de linearidade e propriedade de reversão de tempo.
Passo 2
Primeiro, lembra que a transformada bilateral de Laplace de uma função é
Pela linearidade, para a gente tem
Passo 3
Agora vamos calcular u=-tLongrightarrow t=-u, dt=- du . Fazemos a troca de variável
I2 =integralu=+infty^u=-inftye^-s(-u),q(u),(- du) =integral-infty^inftye^su,q(u), du =integral-infty^inftye^-(-s),u,q(u), du =hat q(-s)
Quando vai de a , também vai de a . Então
Ou seja, a propriedade de reversão de tempo transforma em .
Passo 4
Juntando tudo:
hat f(s)=hat q(s)+hat q(-s)
Passo 5
Agora o domínio de convergência D(hat f) =l,s:,sin D(hat q)r ;cap; l,s:,-sin D(hat q)r é o conjunto de onde ambas as integrais convergem. A primeira integral exige . A segunda exige , porque é justamente . Então