Utilizando as propriedades da transformada de Laplace, determine a transformada da função a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede a transformada de Laplace de
q(t)= 0, & tin[0,tfrac12), e^-2t,cos(2t-1), & tin[tfrac12,infty)
Isso cai em “função em partes” e a gente vai usar a propriedade do degrau (função de Heaviside) e o Teorema do Segundo Deslocamento (shifting). Também vamos precisar da transformada básica
Le^atcos(bt)(s)=s-a(s-a)^2+b^2

Passo 2

Primeiro, escrevo q(t)=u!l(t-tfrac12r),l[e^-2tcos(2t-1)r] usando a função degrau :
A ideia é que antes de dá zero, e depois “liga” essa parte.

Passo 3

Reparo que e^-2t=e^-2l(t-tfrac12r);e^-2cdot12 =e^-2(t-tfrac12),e^-1 . Também isolo o pedaço que depende de q(t) =e^-1,u!l(t-tfrac12r); l[e^-2(t-tfrac12)cos(2(t-tfrac12))r] . Note que
Então

Passo 4

Agora aparece bem a forma do Segundo Deslocamento: se eu tenho
u(t-a),g(t-a),
a transformada é g(tau)=e^-2taucos(2tau) , onde . Aqui e

Passo 5

Calculo G(s)=s-(-2)(s-(-2))^2+2^2 =s+2(s+2)^2+4 . Pelo fórmula básica com e :

Passo 6

Juntando tudo:
  • o fator constante Lq(t)(s) =e^-1;e^- s2;s+2(s+2)^2+4 ,
  • o ,
  • e .
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Resposta

boxedLq(t)(s) =e^-l(tfrac s2+1r);s+2(s+2)^2+4

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