Considere um quadrado A B C D c E, F, G e H os pontos médios dos lados A B, B C, C D e D A, respectivamente. Mostre que o quadrilátero cujos vértices são as interscçõos dos segmentos A F, B G, C H e D E é um quadrado.

Passo 1

Vamos mostrar que, a partir de um quadrado ABCD com pontos médios
E=\tfrac{A+B}{2},\quad F=\tfrac{B+C}{2},\quad G=\tfrac{C+D}{2},\quad H=\tfrac{D+A}{2},
as interseções das retas AF, BG, CH e DE formam um quadrado. Usaremos geometria analítica, pois uma transformação afim leva qualquer quadrado a um quadrado padrão, preservando colinearidade e razões de segmentos.

Passo 2

Escolhemos coordenadas para o quadrado padrão:
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad D=(0,1).
Então os pontos médios ficam
E=\bigl(0{,}5,0\bigr),\quad F=\bigl(1,0{,}5\bigr),\quad G=\bigl(0{,}5,1\bigr),\quad H=\bigl(0,0{,}5\bigr).

Passo 3

Escrevemos as equações paramétricas de
AF:\;(x,y)=(0,0)+t\bigl(1,0{,}5\bigr),\quad BG:\;(x,y)=(1,0)+s\bigl(-0{,}5,1\bigr).
Para P=AF\cap BG resolvemos
(t,0{,}5t)=(1-0{,}5s,\;s).
Da segunda coordenada vem s=0{,}5t. Substituindo na primeira,
t=1-0{,}5(0{,}5t)\;\Longrightarrow\;1{,}25t=1\;\Longrightarrow\;t=0{,}8,\;s=0{,}4.
Logo
P=\bigl(0{,}8,0{,}4\bigr).

Passo 4

Analogamente, obtemos
Q=BG\cap CH,\;CH:\;(x,y)=(1,1)+u(-1,-0{,}5), \;DE:\;(x,y)=(0,1)+v(0{,}5,-1).
Resolvendo cada par de interseções, achamos
Q=(0{,}6,0{,}8),\quad R=(0{,}2,0{,}6),\quad S=(0{,}4,0{,}2).

Passo 5

Para mostrar que PQRS é um quadrado, calculamos os vetores de seus lados:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-0{,}2,0{,}4), \quad\overrightarrow{QR}=R-Q=(-0{,}4,-0{,}2).
Temos
\|\overrightarrow{PQ}\|^2=(-0{,}2)^2+(0{,}4)^2=0{,}2, \quad\|\overrightarrow{QR}\|^2=(-0{,}4)^2+(-0{,}2)^2=0{,}2,
e o produto interno
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{QR} =(-0{,}2)(-0{,}4)+(0{,}4)(-0{,}2)=0,
ou seja, lados iguais e adjacentes perpendiculares. Portanto PQRS é um quadrado.

Resposta

O quadrilátero formado pelas interseções de AF, BG, CH e DE é um quadrado.

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