a) Mostre que dois quadrados são sempre semelhantes.
b) Dê uma condição suficientc para que dois retângulos sejam semelhantes.
c) E para a semclhança de dois losangos?
d) Em geral, quais condições bastam para que dois paralelogramos sejam semelhantes?

Passo 1

O enunciado trata de semelhança de quadriláteros especiais: quadrados, retângulos, losangos e, em geral, paralelogramos. Para resolver, vamos lembrar que dois polígonos são semelhantes quando têm seus ângulos correspondentes iguais e seus lados correspondentes proporcionais.

Passo 2

Quadrados têm todos os quatro lados iguais e todos os quatro ângulos retos 90^\circ. Sejam dois quadrados com lados de comprimentos a e b. Como todos os ângulos em ambos são iguais a 90^\circ e
\frac{a}{b}
é a razão constante de todos os lados, concluímos que qualquer par de quadrados satisfaz os critérios de semelhança (ângulos iguais e lados proporcionais). Portanto, dois quadrados são sempre semelhantes.

Passo 3

Retângulos têm ângulos todos iguais a 90^\circ, mas lados em pares iguais: num retângulo genérico, os comprimentos são a e c, e num outro, b e d. Já temos os ângulos correspondentes iguais. Basta, então, que a razão entre os comprimentos e larguras seja a mesma, ou seja,
\frac{a}{c} \;=\;\frac{b}{d}.
Essa condição é suficiente para os lados correspondentes serem proporcionais, garantindo a semelhança de dois retângulos.

Passo 4

Losangos têm todos os quatro lados iguais, mas os ângulos podem variar, sendo dois ângulos iguais obtusos e dois iguais agudos. Sejam dois losangos com lados iguais em cada um (razão 1) e um ângulo agudo \alpha no primeiro e \beta no segundo. Para serem semelhantes, basta que o ângulo agudo correspondente seja o mesmo: \alpha = \beta. Em seguida, todos os ângulos e os lados (já iguais em cada figura) correspondem, garantindo a semelhança.

Passo 5

Um paralelogramo é determinado por dois lados adjacentes a e c e pelo ângulo \alpha entre eles. Dois paralelogramos serão semelhantes se e somente se satisfizerem simultaneamente:
  1. os ângulos correspondentes forem iguais (em particular, o ângulo entre os dois lados adjacentes ser igual), ou seja, \alpha_{\rm primeiro} = \alpha_{\rm segundo};
  2. os comprimentos dos lados correspondentes forem proporcionais, isto é,
\frac{a}{c} \;=\;\frac{b}{d},
onde a,c são lados do primeiro e b,d os lados correspondentes do segundo.
Essas duas condições garantem ângulos iguais e lados proporcionais, o que é necessário e suficiente para a semelhança de paralelogramos.

Resposta

a) Dois quadrados são sempre semelhantes, pois têm todos os ângulos retos e lados iguais.
b) Dois retângulos são semelhantes se tiverem a mesma razão entre comprimento e largura, isto é, \tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d}.
c) Dois losangos são semelhantes se tiverem igual um de seus ângulos (por exemplo, o ângulo agudo), pois os lados já são iguais.
d) Dois paralelogramos são semelhantes se tiverem igual o ângulo entre dois lados adjacentes e se as razões dos comprimentos desses lados forem iguais.

Exercícios relacionados