a) Mostre que dois quadrados são sempre semelhantes.
b) Dê uma condição suficientc para que dois retângulos sejam semelhantes.
c) E para a semclhança de dois losangos?
d) Em geral, quais condições bastam para que dois paralelogramos sejam semelhantes?
b) Dê uma condição suficientc para que dois retângulos sejam semelhantes.
c) E para a semclhança de dois losangos?
d) Em geral, quais condições bastam para que dois paralelogramos sejam semelhantes?
Passo 1
O enunciado trata de semelhança de quadriláteros especiais: quadrados, retângulos, losangos e, em geral, paralelogramos. Para resolver, vamos lembrar que dois polígonos são semelhantes quando têm seus ângulos correspondentes iguais e seus lados correspondentes proporcionais.
Passo 2
Quadrados têm todos os quatro lados iguais e todos os quatro ângulos retos
. Sejam dois quadrados com lados de comprimentos
e
. Como todos os ângulos em ambos são iguais a
e
é a razão constante de todos os lados, concluímos que qualquer par de quadrados satisfaz os critérios de semelhança (ângulos iguais e lados proporcionais). Portanto, dois quadrados são sempre semelhantes.
Passo 3
Retângulos têm ângulos todos iguais a
, mas lados em pares iguais: num retângulo genérico, os comprimentos são
e
, e num outro,
e
. Já temos os ângulos correspondentes iguais. Basta, então, que a razão entre os comprimentos e larguras seja a mesma, ou seja,
Essa condição é suficiente para os lados correspondentes serem proporcionais, garantindo a semelhança de dois retângulos.
Passo 4
Losangos têm todos os quatro lados iguais, mas os ângulos podem variar, sendo dois ângulos iguais obtusos e dois iguais agudos. Sejam dois losangos com lados iguais em cada um (razão
) e um ângulo agudo
no primeiro e
no segundo. Para serem semelhantes, basta que o ângulo agudo correspondente seja o mesmo:
Em seguida, todos os ângulos e os lados (já iguais em cada figura) correspondem, garantindo a semelhança.
Passo 5
Um paralelogramo é determinado por dois lados adjacentes
e
e pelo ângulo
entre eles. Dois paralelogramos serão semelhantes se e somente se satisfizerem simultaneamente:
-
os ângulos correspondentes forem iguais (em particular, o ângulo entre os dois lados adjacentes ser igual), ou seja,
; -
os comprimentos dos lados correspondentes forem proporcionais, isto é,
onde
são lados do primeiro e
os lados correspondentes do segundo.
Essas duas condições garantem ângulos iguais e lados proporcionais, o que é necessário e suficiente para a semelhança de paralelogramos.
Essas duas condições garantem ângulos iguais e lados proporcionais, o que é necessário e suficiente para a semelhança de paralelogramos.
Resposta
a) Dois quadrados são sempre semelhantes, pois têm todos os ângulos retos e lados iguais.
b) Dois retângulos são semelhantes se tiverem a mesma razão entre comprimento e largura, isto é, .
c) Dois losangos são semelhantes se tiverem igual um de seus ângulos (por exemplo, o ângulo agudo), pois os lados já são iguais.
d) Dois paralelogramos são semelhantes se tiverem igual o ângulo entre dois lados adjacentes e se as razões dos comprimentos desses lados forem iguais.
b) Dois retângulos são semelhantes se tiverem a mesma razão entre comprimento e largura, isto é,
c) Dois losangos são semelhantes se tiverem igual um de seus ângulos (por exemplo, o ângulo agudo), pois os lados já são iguais.
d) Dois paralelogramos são semelhantes se tiverem igual o ângulo entre dois lados adjacentes e se as razões dos comprimentos desses lados forem iguais.