(a) Escreva o sistema de equações lineares que representa o balanceamento dessa reação, considerando os átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio.
(b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan, identificando a solução geral e discutindo:
O sistema admite uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução?
O que isso significa quimicamente?
(c) A partir da solução geral obtida, determine os menores coeficientes inteiros que balanceiam corretamente a equação química.
Passo 1
O enunciado pede o balanceamento da reação de combustão do propano
usando Álgebra Linear: vamos atribuir coeficientes desconhecidos, montar o sistema de equações que garante a conservação dos átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio e resolver esse sistema pelo método de Gauss–Jordan.
Passo 2
Definimos os coeficientes estequiométricos
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})
para \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}, \mathrm{O}_{2}, \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}, respectivamente. A conservação de átomos gera o sistema
Como há um parâmetro livre t, o sistema admite infinitas soluções não-triviais (além da trivial t=0). Quimicamente, isso significa que as razões entre coeficientes é que importam; podemos escalonar todos por um fator comum sem alterar o balanceamento.
Passo 5
Para obter os menores coeficientes inteiros positivos, escolhemos t=1. Assim: