Suponha que você está estudando o equilíbrio de reações químicas e precisa balancear a equação da combustão do propano:
\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}+\mathrm{O}_{2} \rightarrow \mathrm{CO}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
(a) Escreva o sistema de equações lineares que representa o balanceamento dessa reação, considerando os átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio.
(b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan, identificando a solução geral e discutindo:
  • O sistema admite uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução?
  • O que isso significa quimicamente?
    (c) A partir da solução geral obtida, determine os menores coeficientes inteiros que balanceiam corretamente a equação química.

Passo 1

O enunciado pede o balanceamento da reação de combustão do propano
\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} + \mathrm{O}_{2} \to \mathrm{CO}_{2} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
usando Álgebra Linear: vamos atribuir coeficientes desconhecidos, montar o sistema de equações que garante a conservação dos átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio e resolver esse sistema pelo método de Gauss–Jordan.

Passo 2

Definimos os coeficientes estequiométricos
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})
para \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}, \mathrm{O}_{2}, \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}, respectivamente. A conservação de átomos gera o sistema
\begin{cases} 3x_{1} - x_{3} = 0,\\\\ 8x_{1} - 2x_{4} = 0,\\\\ 2x_{2} - 2x_{3} - x_{4} = 0. \end{cases}

Passo 3

Aplicando Gauss–Jordan para isolar variáveis:
  1. Da primeira equação:
3x_{1} - x_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 3x_{1}.
  1. Da segunda equação:
8x_{1} - 2x_{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{4} = 4x_{1}.
  1. Substituindo x_{3} e x_{4} na terceira equação:
2x_{2} - 2(3x_{1}) - (4x_{1}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{2} = 10x_{1} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 5x_{1}.

Passo 4

Da eliminação obtemos a solução geral
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \bigl(t,\,5t,\,3t,\,4t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.
Como há um parâmetro livre t, o sistema admite infinitas soluções não-triviais (além da trivial t=0). Quimicamente, isso significa que as razões entre coeficientes é que importam; podemos escalonar todos por um fator comum sem alterar o balanceamento.

Passo 5

Para obter os menores coeficientes inteiros positivos, escolhemos t=1. Assim:
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (1,\,5,\,3,\,4).

Resposta

\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} \;+\; 5\,\mathrm{O}_{2} \;\longrightarrow\; 3\,\mathrm{CO}_{2} \;+\; 4\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}

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