Considere a quadratura de Gauss-Legendre com
pontos para integrar uma função
contínua no intervalo
. Desconsiderando os erros de arredondamento, é verdadeiro que:
(A) Se
for transcendente, o erro cometido depende da
-ésima derivada de
.
(B) Se
for polinomial de grau 3 e
, a quadratura é exata.
(C) A integração iterativa pode ser utilizada somente para o caso
.
(D) O tempo de execução depende de
.
(E) Se
for polinomial e
, a quadratura é exata.
(A) Se
(B) Se
(C) A integração iterativa pode ser utilizada somente para o caso
(D) O tempo de execução depende de
(E) Se
Passo 1
O enunciado dá uma quadratura de Gauss-Legendre com
pontos para integrar uma função
contínua em
e pede para avaliar as afirmações (A)–(E) (verdadeiras ou falsas). Vou listar claramente o que cada alternativa afirma:
- (A) Diz que, se
for transcendente, o erro depende da -ésima derivada de . - (B) Diz que, se
for polinomial de grau e , a quadratura é exata. - (C) Diz que a integração iterativa (composite/iterativa) pode ser usada somente quando
. - (D) Diz que o tempo de execução depende de
. - (E) Diz que, se
for polinomial e , a quadratura é exata (interpreto como “para qualquer polinomial”).
As informações relevantes: regra de Gauss-Legendre com
nós (pontos), intervalo geral
, arredondamento desprezado. A resolução a partir daqui vai analisar cada alternativa usando propriedades fundamentais da quadratura de Gauss-Legendre.
Passo 2
Conceito-chave: grau de exatidão da quadratura de Gauss-Legendre.
- A quadratura de Gauss-Legendre com
pontos é construída para ser exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a . - “Exata” significa que, se
é um polinômio com , então a soma ponderada dos valores em nós reproduz exatamente a integral:
onde
e
são os nós e pesos de Gauss-Legendre no intervalo
.
Explicando por que: essa regra é obtida impondo que a fórmula seja exata para as
monômios
(resultando em um sistema que determina nós e pesos). Esse é o caráter ótimo da quadratura de Gauss (máxima ordem de exatidão para
nós).
Passo 3
Erro para funções suaves (ideia e ordem da derivada envolvida).
- Para a quadratura de Gauss-Legendre com
nós no intervalo padrão , se é suficientemente suave (possui derivadas até ordem ), existe tal que o erro pode ser escrito na forma
onde
é uma constante que depende só de
(e conhecido explicitamente, mas não preciso do valor exato aqui). O ponto importante é: a derivada envolvida é a de ordem
, não
. Isso vem do fato de que o grau de exatidão é
; o primeiro termo não integrado na expansão de Taylor (ou no desenvolvimento do erro) é relativo à derivada de ordem
.
- Para um intervalo geral
usa-se a transformação afim
o que transforma a integral em
com
. A ordem da derivada que aparece no termo de erro continua sendo a
-ésima derivada de
(aparecendo multiplicada por potências de
quando relacionamos derivadas em
e
), mas não passa para
. Portanto a ordem do derivado no termo de erro é
.
Conclusão útil: qualquer afirmação que coloque
-ésima derivada como a derivada relevante para o erro está incorreta.
Passo 4
Analisando a alternativa (A).
- (A) afirma que, se
é transcendente, o erro depende da -ésima derivada de . - Pelo passo anterior, o erro de Gauss-Legendre envolve a
-ésima derivada (para funções suficientemente suaves), não a -ésima. O fato de ser transcendente (não polinomial) não altera essa ordem: a forma do termo de erro continua envolvendo derivada de ordem .
Portanto (A) é falsa.
Passo 5
Analisando a alternativa (B).
- (B) diz: se
é polinomial de grau e , a quadratura é exata. - Para
a ordenação de exatidão é . Logo qualquer polinômio de grau será integrado exatamente por Gauss-Legendre com 2 pontos.
Portanto (B) é verdadeira. (Intuitivamente: a regra de 2 pontos integra corretamente constantes,, e .)
Passo 6
Analisando a alternativa (C).
- (C) diz que a integração iterativa (composite) pode ser usada somente para o caso
. - Isso está errado: a regra de Gauss-Legendre é normalmente definida no intervalo padrão
, mas para integrar em usamos a transformação afim do passo 3. Além disso, a versão iterativa/composite consiste em dividir em subintervalos e aplicar a regra em cada subintervalo (cada subintervalo mapeado para ). Não há nenhuma restrição que limite a aplicação apenas ao caso .
Portanto (C) é falsa.
Passo 7
Analisando a alternativa (D).
- (D) diz que o tempo de execução depende de
. Precisamos interpretar razoavelmente: desprezando erros de arredondamento, o custo de aplicar a quadratura de Gauss-Legendre com pontos consiste em obter os nós e pesos (que só dependem de e do fato de estarmos no intervalo padrão; para intervalo fazemos uma transformação afim simples), e avaliar em pontos. Assim o número de avaliações de é e a transformação de coordenadas para cada nó é uma operação aritmética simples envolvendo e (mas custo constante por nó). Logo o tempo depende essencialmente de e do custo de avaliar , não de em si. - Em outras palavras: mudar o valor de
(mantendo fixo) não altera a ordem de custo nem o número de avaliações; só altera os pontos onde avalio . Portanto afirmar que o tempo de execução depende de é incorreto no sentido usual de análise de custo.
Portanto (D) é falsa.
Passo 8
Analisando a alternativa (E).
- (E) diz: se
é polinomial e , a quadratura é exata. Lida literalmente, isso afirmaria que para qualquer polinômio (de qualquer grau) a quadratura com é exata. - Mas pelo grau de exatidão, para
a regra é exata para polinômios de grau até . Logo a quadratura é exata apenas para polinômios com grau . Se for um polinômio de grau maior que a quadratura com 13 pontos não é garantida como exata.
Portanto (E) é falsa.
Resposta
(B)