Considere a quadratura de Gauss-Legendre com n pontos para integrar uma função f contínua no intervalo [a ; b]. Desconsiderando os erros de arredondamento, é verdadeiro que:
(A) Se f for transcendente, o erro cometido depende da (2n+1)-ésima derivada de f.
(B) Se f for polinomial de grau 3 e n=2, a quadratura é exata.
(C) A integração iterativa pode ser utilizada somente para o caso a=-1, b=1.
(D) O tempo de execução depende de a.
(E) Se f for polinomial e n=13, a quadratura é exata.

Passo 1

O enunciado dá uma quadratura de Gauss-Legendre com n pontos para integrar uma função f contínua em [a;b] e pede para avaliar as afirmações (A)–(E) (verdadeiras ou falsas). Vou listar claramente o que cada alternativa afirma:
  • (A) Diz que, se f for transcendente, o erro depende da (2n+1)-ésima derivada de f.
  • (B) Diz que, se f for polinomial de grau 3 e n=2, a quadratura é exata.
  • (C) Diz que a integração iterativa (composite/iterativa) pode ser usada somente quando a=-1,\; b=1.
  • (D) Diz que o tempo de execução depende de a.
  • (E) Diz que, se f for polinomial e n=13, a quadratura é exata (interpreto como “para qualquer polinomial”).
As informações relevantes: regra de Gauss-Legendre com n nós (pontos), intervalo geral [a,b], arredondamento desprezado. A resolução a partir daqui vai analisar cada alternativa usando propriedades fundamentais da quadratura de Gauss-Legendre.

Passo 2

Conceito-chave: grau de exatidão da quadratura de Gauss-Legendre.
  • A quadratura de Gauss-Legendre com n pontos é construída para ser exata para todos os polinômios de grau menor ou igual a 2n-1.
  • “Exata” significa que, se p é um polinômio com \deg p \le 2n-1, então a soma ponderada dos valores em nós reproduz exatamente a integral:
\int_{-1}^{1} p(x)\,dx \;=\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, p(x_i),
onde x_i e w_i são os nós e pesos de Gauss-Legendre no intervalo [-1,1].
Explicando por que: essa regra é obtida impondo que a fórmula seja exata para as 2n monômios 1,x,x^2,\dots,x^{2n-1} (resultando em um sistema que determina nós e pesos). Esse é o caráter ótimo da quadratura de Gauss (máxima ordem de exatidão para n nós).

Passo 3

Erro para funções suaves (ideia e ordem da derivada envolvida).
  • Para a quadratura de Gauss-Legendre com n nós no intervalo padrão [-1,1], se f é suficientemente suave (possui derivadas até ordem 2n), existe \xi\in(-1,1) tal que o erro pode ser escrito na forma
\text{Erro} = C_n \, f^{(2n)}(\xi),
onde C_n é uma constante que depende só de n (e conhecido explicitamente, mas não preciso do valor exato aqui). O ponto importante é: a derivada envolvida é a de ordem 2n, não 2n+1. Isso vem do fato de que o grau de exatidão é 2n-1; o primeiro termo não integrado na expansão de Taylor (ou no desenvolvimento do erro) é relativo à derivada de ordem 2n.
  • Para um intervalo geral [a,b] usa-se a transformação afim
x = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{a+b}{2},\quad t\in[-1,1],
o que transforma a integral em \int_{-1}^{1} \tilde f(t)\,dt com \tilde f(t)=\tfrac{b-a}{2} f(x(t)). A ordem da derivada que aparece no termo de erro continua sendo a 2n-ésima derivada de f (aparecendo multiplicada por potências de \tfrac{2}{b-a} quando relacionamos derivadas em t e x), mas não passa para (2n+1). Portanto a ordem do derivado no termo de erro é 2n.
Conclusão útil: qualquer afirmação que coloque (2n+1)-ésima derivada como a derivada relevante para o erro está incorreta.

Passo 4

Analisando a alternativa (A).
  • (A) afirma que, se f é transcendente, o erro depende da (2n+1)-ésima derivada de f.
  • Pelo passo anterior, o erro de Gauss-Legendre envolve a 2n-ésima derivada (para funções suficientemente suaves), não a (2n+1)-ésima. O fato de f ser transcendente (não polinomial) não altera essa ordem: a forma do termo de erro continua envolvendo derivada de ordem 2n.
    Portanto (A) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (B).
  • (B) diz: se f é polinomial de grau 3 e n=2, a quadratura é exata.
  • Para n=2 a ordenação de exatidão é 2n-1 = 3. Logo qualquer polinômio de grau \le 3 será integrado exatamente por Gauss-Legendre com 2 pontos.
    Portanto (B) é verdadeira. (Intuitivamente: a regra de 2 pontos integra corretamente constantes, x, x^2 e x^3.)

Passo 6

Analisando a alternativa (C).
  • (C) diz que a integração iterativa (composite) pode ser usada somente para o caso a=-1,\; b=1.
  • Isso está errado: a regra de Gauss-Legendre é normalmente definida no intervalo padrão [-1,1], mas para integrar em [a,b] usamos a transformação afim do passo 3. Além disso, a versão iterativa/composite consiste em dividir [a,b] em subintervalos e aplicar a regra em cada subintervalo (cada subintervalo mapeado para [-1,1]). Não há nenhuma restrição que limite a aplicação apenas ao caso a=-1,b=1.
    Portanto (C) é falsa.

Passo 7

Analisando a alternativa (D).
  • (D) diz que o tempo de execução depende de a. Precisamos interpretar razoavelmente: desprezando erros de arredondamento, o custo de aplicar a quadratura de Gauss-Legendre com n pontos consiste em obter os n nós e pesos (que só dependem de n e do fato de estarmos no intervalo padrão; para intervalo [a,b] fazemos uma transformação afim simples), e avaliar f em n pontos. Assim o número de avaliações de f é n e a transformação de coordenadas para cada nó é uma operação aritmética simples envolvendo a e b (mas custo constante por nó). Logo o tempo depende essencialmente de n e do custo de avaliar f, não de a em si.
  • Em outras palavras: mudar o valor de a (mantendo n fixo) não altera a ordem de custo nem o número de avaliações; só altera os pontos onde avalio f. Portanto afirmar que o tempo de execução depende de a é incorreto no sentido usual de análise de custo.
    Portanto (D) é falsa.

Passo 8

Analisando a alternativa (E).
  • (E) diz: se f é polinomial e n=13, a quadratura é exata. Lida literalmente, isso afirmaria que para qualquer polinômio (de qualquer grau) a quadratura com n=13 é exata.
  • Mas pelo grau de exatidão, para n=13 a regra é exata para polinômios de grau até 2n-1 = 25. Logo a quadratura é exata apenas para polinômios com grau \le 25. Se f for um polinômio de grau maior que 25 a quadratura com 13 pontos não é garantida como exata.
    Portanto (E) é falsa.

Resposta

(B)

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