Se uma fórmula de quadratura de Gauss-Legendre utiliza
pontos, qual é o grau máximo do polinómio que ela pode integrar exatamente?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se uma fórmula de quadratura de Gauss-Legendre utiliza
pontos, qual é o grau máximo do polinómio que ela pode integrar exactamente?”
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Temos uma fórmula de quadratura Gauss-Legendre com
pontos (ou nós). - Queremos o maior inteiro
tal que toda função polinomial de grau é integrada exactamente por essa fórmula. - As alternativas dadas são: (A)
, (B) , (C) , (D) , (E) .
Passo 2
Primeiro, vamos definir precisamente o que significa “grau de exactidão” (ou precisão) de uma regra de quadratura:
A regra tem grau de exactidão se ela integra exactamente todos os polinómios de grau
, e deixa de ser garantidamente exacta para algum polinómio de grau
.
A regra tem grau de exactidão
Agora vou mostrar dois factos importantes que juntos respondem à pergunta:
- Um limite superior geral para
em termos de (contagem de incógnitas versus equações). - Que a quadratura de Gauss-Legendre atinge esse limite superior, ou seja, existe e é exacta até esse
.
Passo 3
Argumento do limite superior (contagem de parâmetros):
- Uma regra de quadratura com
nós tem parâmetros livres: os nós e os pesos . - Exigir exactidão para todos os polinómios de grau
dá condições lineares independentes do tipo
- Para poder satisfazer
equações com os parâmetros, é necessário ter . Assim
Isto mostra que nenhuma regra de quadratura com
nós pode ser exactamente correcta para todos os polinómios de grau
: o máximo possível é
. (Isto é apenas um limite; falta mostrar que ele é realmente alcançado pela regra de Gauss.)
Passo 4
Ideia da construção que alcança o máximo: nós como raízes do polinómio de Legendre.
- A quadratura de Gauss-Legendre escolhe os
nós como as raízes do polinómio de Legendre de grau , que denotamos por . - Uma propriedade crucial dos polinómios de Legendre é a ortogonalidade:
(Isto significa que
é ortogonal a todos os polinómios de grau inferior a
.)
Passo 5
Agora a prova que a regra alcança exactidão até grau
. Seja
um polinómio com
. Faça a divisão euclidiana de polinómios por
:
onde
e
. Esta decomposição é sempre possível e única.
- Integrais: usando a ortogonalidade de
com polinómios de grau , obtemos
- Soma pela quadratura: como os nós
são raízes de , temos para cada . Logo, para quaisquer pesos ,
pois o termo
anula-se.
Escolhemos agora os pesos
de forma natural: sejam
os polinómios de Lagrange de grau
associados aos nós
. Definimos
Com esta escolha temos a propriedade evidente de uma quadratura interpolatória: para qualquer polinómio
de grau
,
porque
é exactamente interpolado pelas combinações
e integrando isso dá a igualdade.
Juntando as igualdades anteriores:
Logo a quadratura com nós as raízes de
e pesos
integra exactamente qualquer polinómio
com
.
Passo 6
Resumo lógico final:
- Pelo argumento de contagem, nenhuma regra com
nós pode ter grau de exactidão maior que . - A construção de Gauss-Legendre (nós = raízes de
, pesos = integrais dos polinómios de Lagrange) mostra que esse limite é alcançado.
Portanto o maior grau de polinómio que uma fórmula de Gauss-Legendre compontos integra exactamente é .
Resposta
(B)