Se uma fórmula de quadratura de Gauss-Legendre utiliza N pontos, qual é o grau máximo do polinómio que ela pode integrar exatamente?
(A) N
(B) 2N-1
(C) 2N+1
(D) N-1
(E) 2N

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se uma fórmula de quadratura de Gauss-Legendre utiliza N pontos, qual é o grau máximo do polinómio que ela pode integrar exactamente?”
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Temos uma fórmula de quadratura Gauss-Legendre com N pontos (ou nós).
  • Queremos o maior inteiro m tal que toda função polinomial de grau \le m é integrada exactamente por essa fórmula.
  • As alternativas dadas são: (A) N, (B) 2N-1, (C) 2N+1, (D) N-1, (E) 2N.

Passo 2

Primeiro, vamos definir precisamente o que significa “grau de exactidão” (ou precisão) de uma regra de quadratura:
A regra tem grau de exactidão m se ela integra exactamente todos os polinómios de grau \le m, e deixa de ser garantidamente exacta para algum polinómio de grau m+1.
Agora vou mostrar dois factos importantes que juntos respondem à pergunta:
  1. Um limite superior geral para m em termos de N (contagem de incógnitas versus equações).
  2. Que a quadratura de Gauss-Legendre atinge esse limite superior, ou seja, existe e é exacta até esse m.

Passo 3

Argumento do limite superior (contagem de parâmetros):
  • Uma regra de quadratura com N nós tem 2N parâmetros livres: os N nós x_1,\dots,x_N e os N pesos w_1,\dots,w_N.
  • Exigir exactidão para todos os polinómios de grau 0,1,\dots,m m+1 condições lineares independentes do tipo
\sum_{i=1}^N w_i x_i^k = \int_{-1}^{1} x^k\,dx,\qquad k=0,1,\dots,m.
  • Para poder satisfazer m+1 equações com os 2N parâmetros, é necessário ter m+1 \le 2N. Assim
m \le 2N-1.
Isto mostra que nenhuma regra de quadratura com N nós pode ser exactamente correcta para todos os polinómios de grau \ge 2N: o máximo possível é 2N-1. (Isto é apenas um limite; falta mostrar que ele é realmente alcançado pela regra de Gauss.)

Passo 4

Ideia da construção que alcança o máximo: nós como raízes do polinómio de Legendre.
  • A quadratura de Gauss-Legendre escolhe os N nós x_1,\dots,x_N como as raízes do polinómio de Legendre de grau N, que denotamos por P_N(x).
  • Uma propriedade crucial dos polinómios de Legendre é a ortogonalidade:
\int_{-1}^{1} P_N(x)\,x^k\,dx = 0\qquad\text{para }k=0,1,\dots,N-1.
(Isto significa que P_N é ortogonal a todos os polinómios de grau inferior a N.)

Passo 5

Agora a prova que a regra alcança exactidão até grau 2N-1. Seja p(x) um polinómio com \deg p \le 2N-1. Faça a divisão euclidiana de polinómios por P_N:
p(x) = q(x)\,P_N(x) + r(x),
onde \deg q \le N-1 e \deg r \le N-1. Esta decomposição é sempre possível e única.
  • Integrais: usando a ortogonalidade de P_N com polinómios de grau \le N-1, obtemos
\int_{-1}^{1} p(x)\,dx = \int_{-1}^{1} q(x)P_N(x)\,dx + \int_{-1}^{1} r(x)\,dx = 0 + \int_{-1}^{1} r(x)\,dx = \int_{-1}^{1} r(x)\,dx.
  • Soma pela quadratura: como os nós x_i são raízes de P_N, temos P_N(x_i)=0 para cada i. Logo, para quaisquer pesos w_i,
\sum_{i=1}^N w_i p(x_i) = \sum_{i=1}^N w_i r(x_i),
pois o termo q(x_i)P_N(x_i) anula-se.
Escolhemos agora os pesos w_i de forma natural: sejam \ell_i(x) os polinómios de Lagrange de grau \le N-1 associados aos nós x_1,\dots,x_N. Definimos
w_i = \int_{-1}^{1} \ell_i(x)\,dx.
Com esta escolha temos a propriedade evidente de uma quadratura interpolatória: para qualquer polinómio r de grau \le N-1,
\sum_{i=1}^N w_i r(x_i) = \int_{-1}^{1} r(x)\,dx,
porque r é exactamente interpolado pelas combinações r(x)=\sum r(x_i)\ell_i(x) e integrando isso dá a igualdade.
Juntando as igualdades anteriores:
\sum_{i=1}^N w_i p(x_i) = \sum_{i=1}^N w_i r(x_i) = \int_{-1}^{1} r(x)\,dx = \int_{-1}^{1} p(x)\,dx.
Logo a quadratura com nós as raízes de P_N e pesos w_i=\int_{-1}^{1}\ell_i integra exactamente qualquer polinómio p com \deg p\le 2N-1.

Passo 6

Resumo lógico final:
  • Pelo argumento de contagem, nenhuma regra com N nós pode ter grau de exactidão maior que 2N-1.
  • A construção de Gauss-Legendre (nós = raízes de P_N, pesos = integrais dos polinómios de Lagrange) mostra que esse limite é alcançado.
    Portanto o maior grau de polinómio que uma fórmula de Gauss-Legendre com N pontos integra exactamente é 2N-1.

Resposta

(B) 2N-1

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