Qual das seguintes afirmações sobre as Fórmulas de Integração de Newton-Cotes é correta?
(A) O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau.
(B) Um aumento no número de pontos (grau n) na interpolação polinomial utilizada nas fórmulas de Newton-Cotes sempre garante uma maior precisão na aproximação da integral.
(C) A Regra dos 3/8 de Simpson requer que o número de subintervalos N seja um múltiplo de 2.
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração [a, b] como pontos de integração.
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de 1/3 de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, pois não utilizam os limites de integração no cálculo.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação sobre as Fórmulas de Integração de Newton-Cotes é correta. As alternativas são:
(A) O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau.
(B) Um aumento no número de pontos (grau n) na interpolação polinomial utilizada nas fórmulas de Newton-Cotes sempre garante uma maior precisão na aproximação da integral.
(C) A Regra dos 3/8 de Simpson requer que o número de subintervalos N seja um múltiplo de 2.
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração [a,b] como pontos de integração.
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de 1/3 de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, pois não utilizam os limites de integração no cálculo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: são afirmações sobre propriedades das fórmulas de Newton-Cotes, sobre comportamento com grau n, sobre o fenómeno de Runge, sobre requisitos de N para regras compostas e sobre se são abertas ou fechadas (uso dos extremos).

Passo 2

Vou explicar o que são, de forma simples e didática, as fórmulas de Newton-Cotes para integrar numericamente. A ideia básica é:
  • Aproximamos uma função f(x) por um polinómio interpolador que passa por valores de f em pontos igualmente espaçados no intervalo [a,b].
  • Integramos esse polinómio exatamente para obter uma aproximação da integral de f.
Existem duas famílias principais:
  • Newton-Cotes fechadas: usam os pontos extremos x_0=a e x_n=b como nós de interpolação. Exemplos clássicos: Regra do Trapézio (grau 1), Regra de Simpson 1/3 (grau 2), Regra de 3/8 de Simpson (grau 3).
  • Newton-Cotes abertas: usam pontos internos (não incluem a nem b). São menos usadas mas existem.
Essa definição já responde parcialmente à alternativa (D): as fórmulas fechadas utilizam os extremos. Vou desenvolver isso adiante.

Passo 3

Vou explicar o fenómeno de Runge e o efeito que ele tem nas regras que usam polinómios de alto grau. O fenómeno de Runge é um comportamento de interpolação por polinómios em nós igualmente espaçados que causa grandes oscilações perto dos extremos quando aumentamos demasiado o grau do polinómio. Um exemplo clássico é a função de Runge
f(x)=\frac{1}{1+25x^2},\qquad x\in[-1,1].
Se interpolarmos f por polinómios de grau crescente em nós igualmente espaçados, a aproximação uniforme pode piorar perto dos extremos: o polinómio oscila muito e a diferença f(x)-p_n(x) cresce. Consequência prática: usar um polinómio de alto grau em nós igualmente espaçados pode degradar a aproximação da integral, porque a integral do polinómio oscilante pode estar longe da integral de f.
Portanto, a afirmação (A) “O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau” é falsa — o fenómeno de Runge pode, sim, afetar (piorar) a precisão quando se usa interpolação de alto grau em nós igualmente espaçados.

Passo 4

Agora explico por que aumentar o número de pontos (o grau n) nem sempre melhora a precisão (afirmação (B)). Intuitivamente:
  • Aumentar n dá um polinómio que pode aproximar melhor f localmente se f for muito regular e se a interpolação for bem-comportada.
  • Porém, devido ao fenómeno de Runge e também a erros de cancelamento numérico quando n é grande, a aproximação pode piorar. Além disso, o termo de erro da interpolação polinomial envolve derivadas de ordem mais elevada de f e fatores que crescem com n, pelo que a convergência não é garantida apenas por aumentar n.
Assim, a afirmação (B) “um aumento no número de pontos … sempre garante uma maior precisão” é falsa. Não há garantia absoluta de melhoria ao aumentar n sem controlar espaçamento dos nós ou usar técnicas como subdividir o intervalo (regras compostas) ou polinómios de menor grau por subintervalo.

Passo 5

Explico rapidamente as regras compostas e a exigência em N para as regras de Simpson. Se partimos [a,b] em N subintervalos iguais (cada um com largura h=(b-a)/N) e aplicamos uma regra local que usa m subintervalos de cada vez, então precisamos que N seja múltiplo de m para cobrir todo o intervalo sem sobra.
  • A Regra de Simpson 1/3 é baseada em um polinómio quadrático aplicado a dois subintervalos (ou seja, ela usa pares de subintervalos). Logo, para a versão composta, é necessário que N seja múltiplo de 2 (ou seja, N par). Isso é bem conhecido: Simpson 1/3 pede N par.
  • A Regra de 3/8 de Simpson é baseada num polinómio cúbico aplicado a três subintervalos, ou seja, ela usa blocos de 3 subintervalos. Portanto, a versão composta da regra 3/8 exige que N seja múltiplo de 3.
Dado isso, a alternativa (C) "A Regra dos 3/8 de Simpson requer que o número de subintervalos N seja um múltiplo de 2" é falsa: o correto é que a regra 3/8 requer N múltiplo de 3.

Passo 6

Agora trato das alternativas relativas a abertas/fechadas: (D) e (E).
  • Já expliquei que as fórmulas de Newton-Cotes existem em versões fechadas e abertas. As fórmulas fechadas utilizam os pontos extremos x_0=a e x_n=b. Muitas fórmulas clássicas chamadas simplesmente “Newton-Cotes” na prática referem-se às fórmulas fechadas (Trapézio, Simpson 1/3, Simpson 3/8, etc.). Portanto, dizer que “as fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo [a,b] como pontos de integração” é verdadeiro no sentido das fórmulas Newton-Cotes fechadas, que são as mais usuais. Logo (D) está correta nesse sentido.
  • A alternativa (E) afirma que a Regra do Trapézio e a Regra de 1/3 de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, “pois não utilizam os limites de integração”. Isso é incorreto: tanto o Trapézio quanto Simpson 1/3 são fórmulas fechadas e explicitamente usam os limites a e b. Assim, (E) é falsa.

Passo 7

Resumo das conclusões sobre cada alternativa (já detalhado nos passos anteriores):
  • (A) Falsa — Runge pode afetar (piorar) a precisão para alto grau.
  • (B) Falsa — aumentar o grau n nem sempre garante melhora; pode piorar por Runge ou instabilidade numérica.
  • (C) Falsa — Regra 3/8 exige N múltiplo de 3, não de 2.
  • (D) Verdadeira — as fórmulas de Newton-Cotes fechadas utilizam os pontos extremos a e b; é essa a família usual referida por Newton-Cotes.
  • (E) Falsa — Trapézio e Simpson 1/3 são fechadas (utilizam os limites).

Resposta

(D)

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