Qual das seguintes afirmações sobre as Fórmulas de Integração de Newton-Cotes é correta?
(A) O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau.
(B) Um aumento no número de pontos (grau
) na interpolação polinomial utilizada nas fórmulas de Newton-Cotes sempre garante uma maior precisão na aproximação da integral.
(C) A Regra dos
de Simpson requer que o número de subintervalos
seja um múltiplo de 2.
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração
como pontos de integração.
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de
de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, pois não utilizam os limites de integração no cálculo.
(A) O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau.
(B) Um aumento no número de pontos (grau
(C) A Regra dos
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação sobre as Fórmulas de Integração de Newton-Cotes é correta. As alternativas são:
(A) O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau.
(B) Um aumento no número de pontos (grau ) na interpolação polinomial utilizada nas fórmulas de Newton-Cotes sempre garante uma maior precisão na aproximação da integral.
(C) A Regra dos de Simpson requer que o número de subintervalos
seja um múltiplo de
.
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração como pontos de integração.
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, pois não utilizam os limites de integração no cálculo.
(B) Um aumento no número de pontos (grau
(C) A Regra dos
(D) As fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo de integração
(E) A Regra do Trapézio e a Regra de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: são afirmações sobre propriedades das fórmulas de Newton-Cotes, sobre comportamento com grau
, sobre o fenómeno de Runge, sobre requisitos de
para regras compostas e sobre se são abertas ou fechadas (uso dos extremos).
Passo 2
Vou explicar o que são, de forma simples e didática, as fórmulas de Newton-Cotes para integrar numericamente. A ideia básica é:
- Aproximamos uma função
por um polinómio interpolador que passa por valores de em pontos igualmente espaçados no intervalo . - Integramos esse polinómio exatamente para obter uma aproximação da integral de
.
Existem duas famílias principais:
- Newton-Cotes fechadas: usam os pontos extremos
e como nós de interpolação. Exemplos clássicos: Regra do Trapézio (grau 1), Regra de Simpson (grau 2), Regra de de Simpson (grau 3). - Newton-Cotes abertas: usam pontos internos (não incluem
nem ). São menos usadas mas existem.
Essa definição já responde parcialmente à alternativa (D): as fórmulas fechadas utilizam os extremos. Vou desenvolver isso adiante.
Passo 3
Vou explicar o fenómeno de Runge e o efeito que ele tem nas regras que usam polinómios de alto grau. O fenómeno de Runge é um comportamento de interpolação por polinómios em nós igualmente espaçados que causa grandes oscilações perto dos extremos quando aumentamos demasiado o grau do polinómio. Um exemplo clássico é a função de Runge
Se interpolarmos
por polinómios de grau crescente em nós igualmente espaçados, a aproximação uniforme pode piorar perto dos extremos: o polinómio oscila muito e a diferença
cresce. Consequência prática: usar um polinómio de alto grau em nós igualmente espaçados pode degradar a aproximação da integral, porque a integral do polinómio oscilante pode estar longe da integral de
.
Portanto, a afirmação (A) “O fenómeno de Runge não afeta a precisão das fórmulas de Newton-Cotes de alto grau” é falsa — o fenómeno de Runge pode, sim, afetar (piorar) a precisão quando se usa interpolação de alto grau em nós igualmente espaçados.
Passo 4
Agora explico por que aumentar o número de pontos (o grau
) nem sempre melhora a precisão (afirmação (B)). Intuitivamente:
- Aumentar
dá um polinómio que pode aproximar melhor localmente se for muito regular e se a interpolação for bem-comportada. - Porém, devido ao fenómeno de Runge e também a erros de cancelamento numérico quando
é grande, a aproximação pode piorar. Além disso, o termo de erro da interpolação polinomial envolve derivadas de ordem mais elevada de e fatores que crescem com , pelo que a convergência não é garantida apenas por aumentar .
Assim, a afirmação (B) “um aumento no número de pontos … sempre garante uma maior precisão” é falsa. Não há garantia absoluta de melhoria ao aumentar
sem controlar espaçamento dos nós ou usar técnicas como subdividir o intervalo (regras compostas) ou polinómios de menor grau por subintervalo.
Passo 5
Explico rapidamente as regras compostas e a exigência em
para as regras de Simpson. Se partimos
em
subintervalos iguais (cada um com largura
) e aplicamos uma regra local que usa
subintervalos de cada vez, então precisamos que
seja múltiplo de
para cobrir todo o intervalo sem sobra.
- A Regra de Simpson
é baseada em um polinómio quadrático aplicado a dois subintervalos (ou seja, ela usa pares de subintervalos). Logo, para a versão composta, é necessário que seja múltiplo de (ou seja, par). Isso é bem conhecido: Simpson pede par. - A Regra de
de Simpson é baseada num polinómio cúbico aplicado a três subintervalos, ou seja, ela usa blocos de subintervalos. Portanto, a versão composta da regra exige que seja múltiplo de .
Dado isso, a alternativa (C) "A Regra dos
de Simpson requer que o número de subintervalos
seja um múltiplo de
" é falsa: o correto é que a regra
requer
múltiplo de
.
Passo 6
Agora trato das alternativas relativas a abertas/fechadas: (D) e (E).
-
Já expliquei que as fórmulas de Newton-Cotes existem em versões fechadas e abertas. As fórmulas fechadas utilizam os pontos extremos
e . Muitas fórmulas clássicas chamadas simplesmente “Newton-Cotes” na prática referem-se às fórmulas fechadas (Trapézio, Simpson , Simpson , etc.). Portanto, dizer que “as fórmulas de Newton-Cotes utilizam os pontos extremos do intervalo como pontos de integração” é verdadeiro no sentido das fórmulas Newton-Cotes fechadas, que são as mais usuais. Logo (D) está correta nesse sentido. -
A alternativa (E) afirma que a Regra do Trapézio e a Regra de
de Simpson são exemplos de fórmulas de Newton-Cotes abertas, “pois não utilizam os limites de integração”. Isso é incorreto: tanto o Trapézio quanto Simpson são fórmulas fechadas e explicitamente usam os limites e . Assim, (E) é falsa.
Passo 7
Resumo das conclusões sobre cada alternativa (já detalhado nos passos anteriores):
- (A) Falsa — Runge pode afetar (piorar) a precisão para alto grau.
- (B) Falsa — aumentar o grau
nem sempre garante melhora; pode piorar por Runge ou instabilidade numérica. - (C) Falsa — Regra
exige múltiplo de , não de . - (D) Verdadeira — as fórmulas de Newton-Cotes fechadas utilizam os pontos extremos
e ; é essa a família usual referida por Newton-Cotes. - (E) Falsa — Trapézio e Simpson
são fechadas (utilizam os limites).
Resposta
(D)