Resolva a equação diferencial:
d yd x=x y para y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável dydx=x,y com condição inicial y(0)=3. Vamos usar separação de variáveis e integração para obter a solução geral e depois determinar a constante usando a condição dada.

Passo 2

Para aplicar separação de variáveis, colocamos todos os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro, ou seja,
1y,dy = x,dx
Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, usamos que integral1y,dy=ln|y|. Do lado direito, temos integral x,dx=x^22. Não esqueça da constante de integração C.
ln|y| = x^22 + C

Passo 3

Para isolar y, exponentiamos ambos os lados, obtendo
y = e^x^22 + C = e^C ;e^x^22

Passo 4

Chamando e^C de constante positiva K, a solução geral fica y = K,e^x^22. Agora usamos a condição inicial y(0)=3:
3 = K,e^0 Rightarrow K = 3

Resposta

y = 3,e^tfracx^22

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