Considere uma quádrica de equação z^{2}-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1. Podemos afirmar que:

Escolha uma opção:

◯ a. A curva formada na interseção do plano z=3 é uma elipse.
◯ b. Esta quádrica é um parabolóide hiperbólico.
◯ c. Esta quádrica é um hiperboloide de uma folha.
◯ d. Esta quádrica é um elipsóide.
◯ e. A curva formada na interseção do plano z=3 é uma hiperbole.

Passo 1

O enunciado dá a quádrica de equação
z^{2}-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1
e pede para escolher, entre as alternativas, a afirmação correta. As informações relevantes do enunciado são:
  • A equação da superfície é \,z^{2}-x^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • As alternativas falam sobre o tipo de quádrica (várias opções) e sobre a curva de interseção com o plano z=3 (alternativas (a) e (e)).
    O objetivo é decidir qual alternativa está correta.

Passo 2

Primeiro vamos entender a forma da equação. Escrevendo-a explicitamente em termos dos quadrados:
\frac{z^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Isto é uma equação com três termos quadráticos (cada variável aparece ao quadrado) e sinais: coeficiente positivo em z^{2} e coeficientes negativos em x^{2} e em y^{2}. Vou explicar por que esse padrão de sinais importa.
Breve explicação (como classificar rapidamente):
  • Quando todos os três termos têm o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos após colocar RHS = 1) obtemos um elipsóide.
  • Quando um termo tem sinal diferente dos outros dois (por exemplo, + em um e - em dois) e a igualdade é igual a 1, isso corresponde a um hiperboloide de duas folhas (as duas folhas ao longo da direção do termo com sinal diferente).
  • Quando dois termos têm sinal igual e o terceiro tem sinal contrário, mas a posição do sinal negativo/positivo é trocada, pode dar hiperboloide de uma folha (dependendo de como se coloca a igualdade). A distinção prática: forma \;+\; -\; -\;=1\; (um positivo, dois negativos) é hiperboloide de duas folhas; forma \;+ \;+\; -\;=1\; (dois positivos, um negativo) é hiperboloide de uma folha.
  • Paraboloides e hiperbolóides parabólicos aparecem quando uma das variáveis aparece somente em grau 1 (não ao quadrado) em relação a outras; aqui todas aparecem ao quadrado, então não é um paraboloide.
Aplicando isso à nossa equação: há exatamente um quadrado com coeficiente positivo ( z^{2}) e dois com coeficiente negativo ( x^{2} e y^{2}). Portanto, em forma padrão é da família
\frac{z^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{c^{2}}=1,
que corresponde a um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é a direção da variável do termo positivo (aqui o eixo z). (Observação: esta classificação justifica que a superfície não é elipsóide, nem hiperbolóide de uma folha, nem paraboloide hiperbólico.)

Passo 3

Agora vamos analisar a interseção com o plano z=3 (porque alternativas (a) e (e) dizem respeito a essa curva). Substituindo z=3 na equação da superfície:
3^{2}-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Calcule 3^{2}:
9 - x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1.
Passando termos:
-x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1-9 = -8.
Multiplicando ambos os lados por -1:
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 8.

Passo 4

A equação obtida para a interseção é
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 8.
Colocando na forma padrão de elipse, dividimos tudo por 8:
\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{32} = 1.
Isto é exatamente a equação de uma elipse (coeficientes positivos nos termos x^{2} e y^{2} e soma igual a 1). Portanto a curva de interseção do plano z=3 com a superfície é uma elipse.
Para complementar o entendimento: para um plano z=c geral, a interseção seria
c^{2}-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=c^{2}-1.
  • Se |c|>1 então c^{2}-1>0 e a seção é uma elipse;
  • se |c|=1 a seção degeneraria num ponto;
  • se |c|<1 não há pontos reais (concorda com a ideia de duas folhas para |z|\ge1).

Passo 5

Verificação das alternativas com base no que achamos:
  • (a) “A curva formada na interseção do plano z=3 é uma elipse.” — isso é verdadeiro, pois chegamos à equação \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{32}=1.
  • (b) “Esta quádrica é um parabolóide hiperbólico.” — falso: todas as variáveis aparecem ao quadrado; um paraboloide hiperbólico teria uma variável em grau 1 (ex.: z=x^{2}-y^{2} rearranjado).
  • (c) “Esta quádrica é um hiperboloide de uma folha.” — falso: a forma \;z^{2}-x^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}=1\; tem um sinal positivo e dois negativos, o que corresponde a um hiperboloide de duas folhas, não de uma folha.
  • (d) “Esta quádrica é um elipsóide.” — falso: elipsóide teria todos os três quadrados com o mesmo sinal.
  • (e) “A curva formada na interseção do plano z=3 é uma hiperbole.” — falso: a interseção deu uma elipse, não uma hipérbole.

Resposta

a.

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