Considere uma quádrica de equação
. Podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
◯ a. A curva formada na interseção do plano
é uma elipse.
◯ b. Esta quádrica é um parabolóide hiperbólico.
◯ c. Esta quádrica é um hiperboloide de uma folha.
◯ d. Esta quádrica é um elipsóide.
◯ e. A curva formada na interseção do plano
é uma hiperbole.
◯ b. Esta quádrica é um parabolóide hiperbólico.
◯ c. Esta quádrica é um hiperboloide de uma folha.
◯ d. Esta quádrica é um elipsóide.
◯ e. A curva formada na interseção do plano
Passo 1
O enunciado dá a quádrica de equação
e pede para escolher, entre as alternativas, a afirmação correta. As informações relevantes do enunciado são:
- A equação da superfície é
. - As alternativas falam sobre o tipo de quádrica (várias opções) e sobre a curva de interseção com o plano
(alternativas (a) e (e)).
O objetivo é decidir qual alternativa está correta.
Passo 2
Primeiro vamos entender a forma da equação. Escrevendo-a explicitamente em termos dos quadrados:
Isto é uma equação com três termos quadráticos (cada variável aparece ao quadrado) e sinais: coeficiente positivo em
e coeficientes negativos em
e em
. Vou explicar por que esse padrão de sinais importa.
Breve explicação (como classificar rapidamente):
- Quando todos os três termos têm o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos após colocar RHS = 1) obtemos um elipsóide.
- Quando um termo tem sinal diferente dos outros dois (por exemplo,
em um e em dois) e a igualdade é igual a , isso corresponde a um hiperboloide de duas folhas (as duas folhas ao longo da direção do termo com sinal diferente). - Quando dois termos têm sinal igual e o terceiro tem sinal contrário, mas a posição do sinal negativo/positivo é trocada, pode dar hiperboloide de uma folha (dependendo de como se coloca a igualdade). A distinção prática: forma
(um positivo, dois negativos) é hiperboloide de duas folhas; forma (dois positivos, um negativo) é hiperboloide de uma folha. - Paraboloides e hiperbolóides parabólicos aparecem quando uma das variáveis aparece somente em grau 1 (não ao quadrado) em relação a outras; aqui todas aparecem ao quadrado, então não é um paraboloide.
Aplicando isso à nossa equação: há exatamente um quadrado com coeficiente positivo (
) e dois com coeficiente negativo (
e
). Portanto, em forma padrão é da família
que corresponde a um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é a direção da variável do termo positivo (aqui o eixo
). (Observação: esta classificação justifica que a superfície não é elipsóide, nem hiperbolóide de uma folha, nem paraboloide hiperbólico.)
Passo 3
Agora vamos analisar a interseção com o plano
(porque alternativas (a) e (e) dizem respeito a essa curva). Substituindo
na equação da superfície:
Calcule
:
Passando termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
A equação obtida para a interseção é
Colocando na forma padrão de elipse, dividimos tudo por
:
Isto é exatamente a equação de uma elipse (coeficientes positivos nos termos
e
e soma igual a
). Portanto a curva de interseção do plano
com a superfície é uma elipse.
Para complementar o entendimento: para um plano
geral, a interseção seria
- Se
então e a seção é uma elipse; - se
a seção degeneraria num ponto; - se
não há pontos reais (concorda com a ideia de duas folhas para ).
Passo 5
Verificação das alternativas com base no que achamos:
- (a) “A curva formada na interseção do plano
é uma elipse.” — isso é verdadeiro, pois chegamos à equação . - (b) “Esta quádrica é um parabolóide hiperbólico.” — falso: todas as variáveis aparecem ao quadrado; um paraboloide hiperbólico teria uma variável em grau 1 (ex.:
rearranjado). - (c) “Esta quádrica é um hiperboloide de uma folha.” — falso: a forma
tem um sinal positivo e dois negativos, o que corresponde a um hiperboloide de duas folhas, não de uma folha. - (d) “Esta quádrica é um elipsóide.” — falso: elipsóide teria todos os três quadrados com o mesmo sinal.
- (e) “A curva formada na interseção do plano
é uma hiperbole.” — falso: a interseção deu uma elipse, não uma hipérbole.
Resposta
a.