Marque a alternativa que corresponde a equação x^{2}-5 x+y^{2}+4 y=0 em coordenadas polares.
Escolha uma opção:
◯ a. r-5 \cos (\theta)+4 \sin (\theta)=0
◯ b. r+5 r \sin (\theta)+4 r \cos (\theta)=0
◯ c. r-5 \cos (\theta)-4 \sin (\theta)=0
◯ d. r+5 \cos (\theta)+4 \sin (\theta)=0
◯ e. r+5 r \cos (\theta)+4 r \sin (\theta)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas cartesianas
x^{2}-5x+y^{2}+4y=0
e pede que a mesma equação seja escrita em coordenadas polares.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação envolve as variáveis x e y.
  • É necessário expressá-la usando as variáveis polares r e \theta.

Passo 2

Primeiro, recapitulemos a relação entre coordenadas cartesianas e polares (isso é essencial e sempre cai na prova):
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • As fórmulas de conversão são
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta).
Aqui, r\ge 0 e \theta é o ângulo. Essas fórmulas vêm do triângulo retângulo formado pelo ponto, a projeção no eixo x e a origem.

Passo 3

Agora substituímos x e y na equação original por r\cos(\theta) e r\sin(\theta). Também usamos a identidade x^{2}+y^{2}=r^{2} (que vem de r^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}).
Substituindo:
x^{2}+y^{2}-5x+4y = 0
vira
r^{2}-5\bigl(r\cos(\theta)\bigr)+4\bigl(r\sin(\theta)\bigr)=0.

Passo 4

Fatorando r na expressão acima (isso simplifica e mostra as soluções óbvias):
r^{2}-5r\cos(\theta)+4r\sin(\theta)=0
\Rightarrow \; r\bigl(r-5\cos(\theta)+4\sin(\theta)\bigr)=0.
Isto significa que a equação é satisfeita quando r=0 (ponto origem) ou quando
r-5\cos(\theta)+4\sin(\theta)=0,
ou, isolando r,
r=5\cos(\theta)-4\sin(\theta).
Então a forma equivalente em coordenadas polares é \;r-5\cos(\theta)+4\sin(\theta)=0.

Passo 5

Resumo prático para a prova: use x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, reconheça x^2+y^2=r^2, substitua e fatorize por r. A equação reduz à forma linear em r mostrada no passo anterior — escreva-a como preferir: \;r-5\cos(\theta)+4\sin(\theta)=0 ou \;r=5\cos(\theta)-4\sin(\theta). Força aí — você já tem a ideia para fazer rápido na prova!

Resposta

a. r-5\cos(\theta)+4\sin(\theta)=0

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