Seja
a distância focal (distância entre os focos) da cônica obtida pela interseção da quádrica
com um plano que é paralelo ao plano
e passa pelo ponto
. O valor de
é:
Escolha uma opção:
◯ a. 24
◯ b. 4
◯ c. 0
◯ d. 12
◯ e. 16
◯ a. 24
◯ b. 4
◯ c. 0
◯ d. 12
◯ e. 16
Passo 1
O enunciado dá uma quádrica e pede a distância focal
da cônica obtida pela interseção dessa quádrica com um plano paralelo ao plano
que passa por
. Em seguida pede o valor de
.
Informações fornecidas:
- A quádrica é
- O plano é paralelo a
e passa por . Como é paralelo a , sua equação tem a forma constante; passando por significa que o plano é . - A interseção da quádrica com esse plano é uma cônica no plano
. O que se pede: - Encontrar a cônica resultante (sua equação em
); - Determinar a distância entre os focos dessa cônica (denotada
); - Calcular
.
- Encontrar a cônica resultante (sua equação em
Passo 2
Vamos obter a equação da cônica substituindo
na equação da quádrica. Primeiro calcule
:
Substituindo em
temos
Como
, isso vira
Somando
em ambos os lados:
Passo 3
Simplificamos a segunda fração:
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
resultando em
Dividindo por
para obter a forma padrão:
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem no plano
, com semi-eixos dados por
Como
, tem-se
e
.
Passo 4
Relembrando a relação padrão para elipse com eixo maior no eixo
: os focos estão em
com
. A relação entre
é
Uma maneira simples de ver de onde vem essa fórmula é usar o ponto
, que está na elipse: as distâncias desse ponto aos dois focos são iguais, cada uma igual a
, e a soma das distâncias a ambos os focos vale
(definição da elipse). Assim
A distância entre os focos (a pedida
) é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
e
:
Logo
. Portanto a distância entre os focos é
Agora calculamos
: