Seja F a distância focal (distância entre os focos) da cônica obtida pela interseção da quádrica \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}-\frac{z^{2}}{2}=1 com um plano que é paralelo ao plano x y e passa pelo ponto P=(0,0,-2). O valor de F^{2}-F é:
Escolha uma opção:
◯ a. 24
◯ b. 4
◯ c. 0
◯ d. 12
◯ e. 16

Passo 1

O enunciado dá uma quádrica e pede a distância focal F da cônica obtida pela interseção dessa quádrica com um plano paralelo ao plano xy que passa por P=(0,0,-2). Em seguida pede o valor de F^{2}-F.
Informações fornecidas:
  • A quádrica é \displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}-\frac{z^{2}}{2}=1.
  • O plano é paralelo a xy e passa por P=(0,0,-2). Como é paralelo a xy, sua equação tem a forma z= constante; passando por P significa que o plano é z=-2.
  • A interseção da quádrica com esse plano é uma cônica no plano z=-2. O que se pede:
    • Encontrar a cônica resultante (sua equação em x,y);
    • Determinar a distância entre os focos dessa cônica (denotada F);
    • Calcular F^{2}-F.

Passo 2

Vamos obter a equação da cônica substituindo z=-2 na equação da quádrica. Primeiro calcule z^{2}:
z=-2 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=4.
Substituindo em
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}-\frac{z^{2}}{2}=1
temos
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}-\frac{4}{2}=1.
Como \dfrac{4}{2}=2, isso vira
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}-2=1.
Somando 2 em ambos os lados:
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{3}}=3.

Passo 3

Simplificamos a segunda fração: \dfrac{y^{2}}{\frac{5}{3}}=y^{2}\cdot\dfrac{3}{5}. Assim
\frac{x^{2}}{3}+\frac{3}{5}y^{2}=3.
Multiplicando ambos os lados por 15 para eliminar denominadores:
15\cdot\frac{x^{2}}{3}+15\cdot\frac{3}{5}y^{2}=15\cdot 3
resultando em
5x^{2}+9y^{2}=45.
Dividindo por 45 para obter a forma padrão:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1.
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem no plano z=-2, com semi-eixos dados por
a^{2}=9,\qquad b^{2}=5.
Como a^{2}=9>5=b^{2}, tem-se a=\sqrt{9}=3 e b=\sqrt{5}.

Passo 4

Relembrando a relação padrão para elipse com eixo maior no eixo x: os focos estão em (\pm c,0) com c\ge0. A relação entre a,b,c é
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Uma maneira simples de ver de onde vem essa fórmula é usar o ponto (0,b), que está na elipse: as distâncias desse ponto aos dois focos são iguais, cada uma igual a \sqrt{c^{2}+b^{2}}, e a soma das distâncias a ambos os focos vale 2a (definição da elipse). Assim
2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a \quad\Rightarrow\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}.
A distância entre os focos (a pedida F) é F=2c.

Passo 5

Aplicando a fórmula com a^{2}=9 e b^{2}=5:
c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-5=4.
Logo c=\sqrt{4}=2. Portanto a distância entre os focos é
F=2c=2\cdot 2=4.
Agora calculamos F^{2}-F:
F^{2}-F=4^{2}-4=16-4=12.

Resposta

12

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