Considere a quádrica
e o ponto
. Classifique a quádrica
e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em
que passam pelo ponto
, onde:
e
Passo 1
O enunciado pede para classificar a quádru ca
e encontrar todas as retas contidas em que passam por
.
Vamos usar classificação de superfícies quádricas e parametrização de reta com substituição na equação da superfície.
e encontrar todas as retas contidas em
Vamos usar classificação de superfícies quádricas e parametrização de reta com substituição na equação da superfície.
Passo 2
Primeiro verificamos que
pertence a
. De fato, no ponto
temos
e
logo
satisfaz a equação de
.
Passo 3
Para classificar a superfície, escrevemos
Como há dois termos quadráticos de sinais opostos e o terceiro variável aparece só em grau 1, concluímos que
é um paraboloide hiperbólico.
Passo 4
Seja uma reta genérica
passando por
dada por
Para
precisamos que, para todo
,
Expandindo os dois lados, obtemos
Como isso deve valer para todo
, igualamos coeficientes de
e de
.
Passo 5
Igualando coeficiente de
:
Igualando coeficiente de
:
Se
, então
e
.
Se , então
e
.
Se
Passo 6
Podemos escolher
(o
pode ser reescalonado), obtendo duas direções:
e
.
Assim as equações paramétricas das duas retas são:
Assim as equações paramétricas das duas retas são:
Resposta
As retas contidas em
e