Considere a quádrica mathcalQ e o ponto A in Q. Classifique a quádrica mathcalQ e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em mathcalQ que passam pelo ponto A, onde:
mathcalQ: y^2-z^225=2 x e A=(4,3,5)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a quádru ca
Qcolon y^2-tfracz^225=2x
e encontrar todas as retas contidas em Q que passam por A=(4,3,5).
Vamos usar classificação de superfícies quádricas e parametrização de reta com substituição na equação da superfície.

Passo 2

Primeiro verificamos que A pertence a Q. De fato, no ponto A temos
y^2-z^225=3^2-5^225=9-1=8
e
2x=2cdot4=8,
logo A satisfaz a equação de Q.

Passo 3

Para classificar a superfície, escrevemos
x=y^22-z^250
Como há dois termos quadráticos de sinais opostos e o terceiro variável aparece só em grau 1, concluímos que Q é um paraboloide hiperbólico.

Passo 4

Seja uma reta genérica L passando por A dada por
(x,y,z)=(4,3,5)+(u,v,w),t
Para LsubsetQ precisamos que, para todo t,
(3+vt)^2-(5+wt)^225=2l(4+utr)
Expandindo os dois lados, obtemos
(3+vt)^2-(5+wt)^225 =8+l(6v-tfrac25wr)t+l(v^2-tfracw^225r)t^2,
2(4+ut)=8+2u,t
Como isso deve valer para todo t, igualamos coeficientes de t^2 e de t.

Passo 5

Igualando coeficiente de t^2:
v^2-w^225=0 Longrightarrow w^2=25,v^2Longrightarrow w=pm5v
Igualando coeficiente de t:
6v-25w=2u
Se w=5v, então 6v-2v=4v=2u e u=2v.
Se w=-5v, então 6v+2v=8v=2u e u=4v.

Passo 6

Podemos escolher v=1 (o t pode ser reescalonado), obtendo duas direções:
(u,v,w)=(2,1,5) e (4,1,-5).
Assim as equações paramétricas das duas retas são:
x=4+2t, y=3+t, z=5+5t,
x=4+4t, y=3+t, z=5-5t

Resposta

Q é um paraboloide hiperbólico.
As retas contidas em Q que passam por A são
l(x,y,z)mid x=4+2t,;y=3+t,;z=5+5tr
e
l(x,y,z)mid x=4+4t,;y=3+t,;z=5-5tr

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