Mostre que as retas e são paralelas, determine a equação cartesiana do plano que as contém e calcule d(r1, r2).
Passo 1
O enunciado pede: (i) mostrar que r1 e r2 são paralelas; (ii) obter a equação cartesiana do plano que contém ambas; (iii) calcular a distância d(r1,r2). Vamos usar geometria analítica no espaço, parametrização de retas, produto vetorial para achar normais e fórmula de distância entre retas paralelas.
Passo 2
Parametrize r1 e extraia um ponto e seu vetor diretor.
A reta
r1:;x=y-13=z-2
basta tomar o parâmetro t=x. Então
y-1=3t, z-2=t
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r1:;(x,y,z)=(t,;3t+1,;t+2)=P1+(t),v,
com
P1=(0,1,2), v=(1,3,1)
Passo 3
Parametrize
da segunda equação dá , obtemos
com
Como , concluímos que as retas são paralelas.
Passo 4
Determine o plano que contém r1 e r2.
Basta um plano que passe em P1 e contenha o vetor diretor v e o vetor P1P2=P2-P1=(0,-5,2). Seu vetor normal é
n = v times (P2-P1) = (1,3,1)times(0,-5,2) = (11,,-2,,-5)