Mostre que as retas r1: x=y-13=z-2 e r2:c2 x-y+z=8 -3 x+y=-4 são paralelas, determine a equação cartesiana do plano que as contém e calcule d(r1, r2).

Passo 1

O enunciado pede: (i) mostrar que r1 e r2 são paralelas; (ii) obter a equação cartesiana do plano que contém ambas; (iii) calcular a distância d(r1,r2). Vamos usar geometria analítica no espaço, parametrização de retas, produto vetorial para achar normais e fórmula de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Parametrize r1 e extraia um ponto e seu vetor diretor.
A reta
r1:;x=y-13=z-2
basta tomar o parâmetro t=x. Então
y-1=3t, z-2=t
logo
r1:;(x,y,z)=(t,;3t+1,;t+2)=P1+(t),v,
com
P1=(0,1,2), v=(1,3,1)

Passo 3

Parametrize
da segunda equação dá , obtemos
com
Como , concluímos que as retas são paralelas.

Passo 4

Determine o plano que contém r1 e r2.
Basta um plano que passe em P1 e contenha o vetor diretor v e o vetor P1P2=P2-P1=(0,-5,2). Seu vetor normal é
n = v times (P2-P1) = (1,3,1)times(0,-5,2) = (11,,-2,,-5)
Logo a equação do plano é
ncdotl((x,y,z)-P1r)=0 ;Longrightarrow; 11(x-0)-2(y-1)-5(z-2)=0,
que se expande para
11x-2y-5z+12=0

Passo 5

Calcule a distância entre as retas paralelas.
Para retas paralelas,
d(r1,r2) =l|,(P2-P1)times v,r||v| =|, (0,-5,2)times(1,3,1)|raiz1^2+3^2+1^2 =raiz150raiz11 =5raiz6raiz11 =5raiz6611

Resposta

As retas r1 e r2 são paralelas.
A equação cartesiana do plano que as contém é
11x - 2y - 5z + 12 = 0
A distância entre r1 e r2 é
d(r1,r2) = 5raiz6611

Exercícios relacionados