(Questão 2) [2,00] Mostre que se e F=(f1, f2, f3) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M^t M=I, onde I é a matriz identidade. Justifique cada afirmação!
Passo 1
O enunciado diz que E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) são bases ortonormais de R^3, e que M é a matriz de mudança de base de E para F. Precisamos mostrar que
M^tM = I3,
onde I3 é a matriz identidade 3times3.
Passo 2
Pelo definição de matriz de mudança de base, a j-ésima coluna de M é o vetor de coordenadas de overrightarrow fj na base E. Vamos denotar
[overrightarrow fj]E
esse vetor coluna. Em bases ortonormais vale a propriedade: para quaisquer vetores overrightarrow u,overrightarrow v,