(Questão 2) [2,00] Mostre que se E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M^t M=I, onde I é a matriz identidade. Justifique cada afirmação!

Passo 1

O enunciado diz que E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) são bases ortonormais de R^3, e que M é a matriz de mudança de base de E para F. Precisamos mostrar que
M^tM = I3,
onde I3 é a matriz identidade 3times3.

Passo 2

Pelo definição de matriz de mudança de base, a j-ésima coluna de M é o vetor de coordenadas de overrightarrow fj na base E. Vamos denotar
[overrightarrow fj]E
esse vetor coluna. Em bases ortonormais vale a propriedade: para quaisquer vetores overrightarrow u,overrightarrow v,
lang<= overrightarrow u,overrightarrow vrang<= = [overrightarrow u]E^t;[overrightarrow v]E

Passo 3

O elemento (i,j) de M^tM é dado por
l(M^tMr)ij = sumk=1^3Mk i,Mk j = l([overrightarrow fi]Er)^t!l([overrightarrow fj]Er)

Passo 4

Pela propriedade da base ortonormal E, o produto escalar acima coincide com o produto escalar em R^3 dos vetores originais:
l([overrightarrow fi]Er)^t!l([overrightarrow fj]Er) = lang<= overrightarrow fi,overrightarrow fjrang<=

Passo 5

Como
Logo (\bigl(M^{t}M\bigr){ij}=\delta{ij}], e portanto

Resposta

M^tM = I3

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