Considere a quádrica mathcalQ e o ponto A in Q. Classifique a quádrica mathcalQ e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em mathcalQ que passam pelo ponto A, onde:
mathcalQ: x^24+y^2+z^29=3 e A=(2,1,3)

Passo 1

O enunciado dá a quádric
Q:x^24+y^2+z^29=3
e o ponto A=(2,1,3) que de fato satisfaz a equação. Queremos (1) classificar Q e (2) achar, se existirem, as retas contidas em Q que passam por A. Vamos usar análise de formas quadráticas definidas e o teste de inclusão de reta.

Passo 2

Para classificar Q dividimos por 3 e escrevemos em forma canônica de nível:
x^212+y^23+z^227=1
Todos os coeficientes são positivos, o que significa que a forma quadrática é definida positiva. Logo Q é um elipsóide, uma superfície fechada e convexa, sem geratrizes retas.

Passo 3

Suponha que exista uma reta LsubsetQ passando por A. Qualquer reta pode ser escrita como
r(t)=A + tv, v=(v1,v2,v3)
Substituindo em Q:
(2+tv1)^24+(1+tv2)^2+(3+tv3)^29=3
Expandindo, o termo constante é 3 e cancela o lado direito, sobrando
t,(v1+2v2+tfrac23v3)+t^2l(tfracv1^24+v2^2+tfracv3^29r)=0 forall t
Para isso ocorrer identicamente, os coeficientes devem ser zero:
v1+2v2+tfrac23v3=0, tfracv1^24+v2^2+tfracv3^29=0

Passo 4

Da segunda condição, soma de quadrados só é zero se v1=v2=v3=0. Isso corresponde à reta degenerada (um ponto). Concluímos que não há vetor direção não nulo, ou seja, não existem retas reais em Q.

Resposta

A quádric Q é um elipsóide e não existem retas reais contidas em Q que passem pelo ponto A.

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