Considere a quádrica
e o ponto
. Classifique a quádrica
e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em
que passam pelo ponto
, onde:
e
Passo 1
O enunciado dá a quádric
e o ponto
que de fato satisfaz a equação. Queremos (1) classificar
e (2) achar, se existirem, as retas contidas em
que passam por
. Vamos usar análise de formas quadráticas definidas e o teste de inclusão de reta.
Passo 2
Para classificar
dividimos por 3 e escrevemos em forma canônica de nível:
Todos os coeficientes são positivos, o que significa que a forma quadrática é definida positiva. Logo
é um elipsóide, uma superfície fechada e convexa, sem geratrizes retas.
Passo 3
Suponha que exista uma reta
passando por
. Qualquer reta pode ser escrita como
Substituindo em
:
Expandindo, o termo constante é
e cancela o lado direito, sobrando
Para isso ocorrer identicamente, os coeficientes devem ser zero:
Passo 4
Da segunda condição, soma de quadrados só é zero se
. Isso corresponde à reta degenerada (um ponto). Concluímos que não há vetor direção não nulo, ou seja, não existem retas reais em
.
Resposta
A quádric
é um elipsóide e não existem retas reais contidas em
que passem pelo ponto
.