Considere a quádrica e o ponto . Classifique a quádrica e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em que passam pelo ponto , onde: e
Passo 1
O enunciado dá a quádricas
e um ponto que pertence a .
Conteúdo: classificação de quádricas e linhas contidas numa superfície.
Para achar linhas em passando por , vamos assumir uma reta genérica parametrizada e exigir que ela satisfaça identicamente a equação de .
Passo 2
Classificação de : como a variável não aparece na equação
temos uma superfície cilíndrica cujo eixo geratriz é paralelo ao eixo e cuja curva guia (diretriz) no plano é a hipérbole . Logo, é um cilindro quadrático (hiperbólico) de geratriz paralela a .
Passo 3
Procuramos retas em que passem por . Seja uma reta
com . Para que , a condição
deve valer para todo . Substituindo
temos
para todo .
Passo 4
Expandindo e igualando coeficientes de a zero:
Isto leva a
Da segunda equação vem . Se , a primeira dá , forçando ; análogo para . Assim e , e pode ser qualquer número não nulo.
Passo 5
Concluímos que qualquer reta contida em e passando por tem direção apenas no eixo . Pegando para simplicidade, a única reta é
Resposta
A quádricas Q é um cilindro hiperbólico de geratrizes paralelas ao eixo x.
A única reta contida em Q que passa por A é