Considere a quádrica mathcalQ e o ponto A in Q. Classifique a quádrica mathcalQ e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em mathcalQ que passam pelo ponto A, onde:
mathcalQ: y^2-4 z^2=1 e A=(4,3, raiz2)

Passo 1

O enunciado dá a quádricas
Q: y^2-4z^2=1
e um ponto A=(4,3,raiz2) que pertence a Q.
Conteúdo: classificação de quádricas e linhas contidas numa superfície.
Para achar linhas em Q passando por A, vamos assumir uma reta genérica parametrizada e exigir que ela satisfaça identicamente a equação de Q.

Passo 2

Classificação de Q: como a variável x não aparece na equação
y^2-4z^2=1,
temos uma superfície cilíndrica cujo eixo geratriz é paralelo ao eixo x e cuja curva guia (diretriz) no plano yz é a hipérbole y^2-4z^2=1. Logo, Q é um cilindro quadrático (hiperbólico) de geratriz paralela a x.

Passo 3

Procuramos retas em Q que passem por A. Seja uma reta
ell:;(x,y,z) = (4,3,raiz2) + t,(a,b,c),
com (a,b,c)neq(0,0,0). Para que ellsubsetQ, a condição
y^2-4z^2=1
deve valer para todo t. Substituindo
y=3+bt, z=raiz2+ct,
temos
(3+bt)^2 - 4(raiz2+ct)^2 = 1
para todo t.

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes de t a zero:
(3+bt)^2 - 4(raiz2+ct)^2 =9 + 6bt + b^2t^2 ;-;4l(2 +2raiz2,ct + c^2t^2r) =1
Isto leva a
6b -8raiz2,c =0, b^2-4c^2=0
Da segunda equação vem b=pm2c. Se b=2c, a primeira dá (12-8raiz2)c=0, forçando c=0; análogo para b=-2c. Assim b=0 e c=0, e a pode ser qualquer número não nulo.

Passo 5

Concluímos que qualquer reta contida em Q e passando por A tem direção apenas no eixo x. Pegando a=1 para simplicidade, a única reta é
ell:; x=4 + t, y=3, z=raiz2

Resposta

A quádricas Q é um cilindro hiperbólico de geratrizes paralelas ao eixo x.
A única reta contida em Q que passa por A é
boxed x=4+t, y=3, z=raiz2, tinR

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