Considere a quádrica mathcalQ e o ponto A in Q. Classifique a quádrica mathcalQ e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em mathcalQ que passam pelo ponto A, onde:
mathcalQ: x^2-y^2-z^24=1 e A=(raiz3, 1,2)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a quadriculada
Qcolon x^2-y^2-z^24=1
e o ponto A=(raiz3,1,2)inQ. O que precisamos é (a) classificar Q e (b) encontrar todas as retas, se existirem, contidas em Q que passam por A. Para isso vamos usar o critério de classificação de quádricas pela assinatura dos coeficientes de x^2,y^2,z^2 e o fato de que uma reta L está contida em Q se, ao substituir suas equações paramétricas na equação de Q, obtivermos uma identidade em t.

Passo 2

Classificação de Q. Na forma
x^2-y^2-z^24=1
os coeficientes de x^2,y^2,z^2 têm sinais +,-,-. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas (duas “folhas” separadas pelos planos x=pm1). Portanto
Resposta parcial: Q é um hiperbolóide de duas folhas.

Passo 3

Equação genérica de uma reta passando por A. Seja v=(a,b,c)neq(0,0,0) o vetor direção. As equações paramétricas são
x(t)=raiz3+a t, y(t)=1+b t, z(t)=2+c t

Passo 4

Substituindo (x(t),y(t),z(t)) em Q e exigindo que seja verdadeiro para todo t, obtemos
(raiz3+a t)^2 - (1+b t)^2 - (2+c t)^24 ;=;1
Expandindo em pot^encias de t, o termo constante j’a d’a 1 porque AinQ. Os coeficientes de t e t^2 devem desaparecer, gerando o sistema
2raiz3,a ;-;2,b ;-;c = 0,[6pt] a^2 ;-;b^2 ;-;tfracc^24 = 0 ]

Passo 5

Resolvendo o sistema. Da primeira equação vem
c ;=;2raiz3,a ;-;2b
Substituindo em a^2-b^2-tfracc^24=0 obtemos
a^2-b^2-(2raiz3,a-2b)^24 ;=;0 ;Longrightarrow; a^2 - raiz3,a b + b^2 = 0
Se bneq0, definimos r=a/b e temos r^2-raiz3,r+1=0, cujo discriminante De<a=3-4=-1 é negativo, logo não há solução real não trivial. Se b=0, então da equação a^2-raiz3ab+b^2=0 segue a=0 e, por consequência, c=0. Em todos os casos o único vetor direção real é o trivial v=(0,0,0), o que não gera reta.

Resposta

Q é um hiperbolóide de duas folhas e não existem retas reais contidas em Q que passem por A.

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