Considere a quádrica e o ponto . Classifique a quádrica e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em que passam pelo ponto , onde: e
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a quadriculada
e o ponto . O que precisamos é (a) classificar e (b) encontrar todas as retas, se existirem, contidas em que passam por . Para isso vamos usar o critério de classificação de quádricas pela assinatura dos coeficientes de e o fato de que uma reta está contida em se, ao substituir suas equações paramétricas na equação de , obtivermos uma identidade em .
Passo 2
Classificação de . Na forma
os coeficientes de têm sinais . Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas (duas “folhas” separadas pelos planos ). Portanto
Resposta parcial: é um hiperbolóide de duas folhas.
Passo 3
Equação genérica de uma reta passando por . Seja o vetor direção. As equações paramétricas são
Passo 4
Substituindo em e exigindo que seja verdadeiro para todo , obtemos
Expandindo em pot^encias de , o termo constante j’a d’a porque . Os coeficientes de e devem desaparecer, gerando o sistema
Se bneq0, definimos r=a/b e temos r^2-raiz3,r+1=0, cujo discriminante De<a=3-4=-1 é negativo, logo não há solução real não trivial. Se b=0, então da equação a^2-raiz3ab+b^2=0 segue a=0 e, por consequência, c=0. Em todos os casos o único vetor direção real é o trivial v=(0,0,0), o que não gera reta.
Resposta
Q é um hiperbolóide de duas folhas e não existem retas reais contidas em Q que passem por A.