Considere a quádrica
e o ponto
. Classifique a quádrica
e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em
que passam pelo ponto
, onde:
e
Passo 1
O enunciado dá a quadric
definida por
e pede (1) a sua classificação e (2) as retas contidas em
que passam por
.
Conteúdo: classificação de quádricas pelo sinal na forma quadrática e busca de geratrizes de um cone usando parametrização de reta.
Conteúdo: classificação de quádricas pelo sinal na forma quadrática e busca de geratrizes de um cone usando parametrização de reta.
Passo 2
Para classificar, escrevemos a equação em forma homogênea
O termo quadrático associado tem matriz diagonal
. Há dois autovalores positivos
e um negativo
, logo é um cone quádruco duplo (duas nappes) com seção elíptica—ou seja, um cone elíptico centrado na origem.
Passo 3
Uma reta genérica por
é
Para que ela fique inteira em
, a condição
deve valer para todo
. Ao expandir, o termo constante anula-se (pois
) e restam as condições de coeficiente de
e de
serem zero.
Passo 4
Expandindo e coletando em potências de
obtemos
coeficiente de
coeficiente de
Da primeira vem . Substituindo na segunda:
coeficiente de
coeficiente de
Da primeira vem
logo
e então
. Assim o vetor-direção é proporcional a
.
Resposta
A quadric
é um cone elíptico duplo com vértice na origem.
A única reta em que passa por
é a geratriz que liga
ao vértice, cujas equações paramétricas podem ser escritas como
A única reta em