Considere a quádrica mathcalQ e o ponto A in Q. Classifique a quádrica mathcalQ e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em mathcalQ que passam pelo ponto A, onde:
mathcalQ: x^24+z^2=2 y^2 e A=(2,1,1)

Passo 1

O enunciado dá a quadric Q definida por
x^24+z^2=2y^2
e pede (1) a sua classificação e (2) as retas contidas em Q que passam por A=(2,1,1).
Conteúdo: classificação de quádricas pelo sinal na forma quadrática e busca de geratrizes de um cone usando parametrização de reta.

Passo 2

Para classificar, escrevemos a equação em forma homogênea
x^24+z^2-2y^2=0
O termo quadrático associado tem matriz diagonal diag(1/4,,-2,,1). Há dois autovalores positivos 1/4,1 e um negativo -2, logo é um cone quádruco duplo (duas nappes) com seção elíptica—ou seja, um cone elíptico centrado na origem.

Passo 3

Uma reta genérica por A é
r(t)=(x,y,z)=(2+ta,;1+tb,;1+tc)
Para que ela fique inteira em Q, a condição
(2+ta)^24+(1+tc)^2-2(1+tb)^2equiv0
deve valer para todo t. Ao expandir, o termo constante anula-se (pois AinQ) e restam as condições de coeficiente de t e de t^2 serem zero.

Passo 4

Expandindo e coletando em potências de t obtemos
coeficiente de tcolon a+2c-4b=0,
coeficiente de t^2colon a^24+c^2-2b^2=0
Da primeira vem a=4b-2c. Substituindo na segunda:
(4b-2c)^24+c^2-2b^2 =4b^2-4bc+c^2+c^2-2b^2 =2(b-c)^2=0
logo b=c e então a=4b-2b=2b. Assim o vetor-direção é proporcional a (2,1,1).

Resposta

A quadric Q é um cone elíptico duplo com vértice na origem.
A única reta em Q que passa por A é a geratriz que liga A ao vértice, cujas equações paramétricas podem ser escritas como
x=2+2t, y=1+t, z=1+t, tinR

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