Seja a família de quádricas
Qlambda:(lambda^2-4) x^2+(9-lambda^2) y^2+2(lambda^2-lambda) z^2=lambda, lambda in R
Classifique, em função de lambda in R, a quádrica Qlambda. Para que valores de lambda in R, a quádrica é degenerada?

Passo 1

O enunciado nos dá a família de quádricas
Qlambda:;(lambda^2-4),x^2+(,9-lambda^2),y^2+2(lambda^2-lambda),z^2=lambda, lambdainR
O conteúdo aqui é classificação de quádricas centrais ou degeneradas a partir dos sinais dos coeficientes da forma quadrática diagonal. Para resolver, vamos:
1. Identificar os coeficientes
a=lambda^2-4,;b=9-lambda^2,;c=2(lambda^2-lambda).
2. Para lambdaneq0, dividir a equação por lambda e obter
alpha,x^2+beta,y^2+gamma,z^2=1, alpha=alambda,;beta=blambda,;gamma=clambda
3. Contar quantos desses coeficientes são positivos e negativos para classificar a quádric-a.
4. Verificar os valores de lambda que anulam a, b ou c (ou lambda=0), pois aí a quádric-a fica degenerada.

Passo 2

Calculemos os zeros de a,b,c e identifiquemos os pontos em que muda o sinal de alpha,beta,gamma:
  • a=lambda^2-4=0; Longrightarrow; lambda=pm2.
  • b=9-lambda^2=0; Longrightarrow; lambda=pm3.
  • c=2(lambda^2-lambda)=2lambda(lambda-1)=0; Longrightarrow; lambda=0 ou lambda=1.
    Portanto os valores críticos são
lambdain,-infty,,-3,,-2,,0,,1,,2,,3,,+infty
Em cada intervalo entre esses pontos fixamos o sinal de alpha=a/lambda, beta=b/lambda e gamma=c/lambda, lembrando que a divisão inverte todos os sinais se lambda<0.

Passo 3

Classificação para lambda>0. Nestes casos dividimos por lambda>0 e obtemos os coeficientes
alpha=lambda^2-4lambda, beta=9-lambda^2lambda, gamma=2(lambda-1)
Em cada intervalo ,(0,1),(1,2),(2,3),(3,infty);contamos os sinais de alpha,beta,gamma:
  • 0<lambda<1,: alpha<0,;beta>0,;gamma<0; Rightarrow um coeficiente positivo e dois negativos Longrightarrow hiperbolóide de duas folhas.
  • 1<lambda<2,: alpha<0,;beta>0,;gamma>0; Rightarrow dois coeficientes positivos e um negativo Longrightarrow hiperbolóide de uma folha.
  • 2<lambda<3,: alpha>0,;beta>0,;gamma>0; Rightarrow todos positivos Longrightarrow elipsoide.
  • lambda>3,: alpha>0,;beta<0,;gamma>0; Rightarrow dois positivos e um negativo Longrightarrow hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Classificação para lambda<0. Aqui lambda<0 inverte os sinais de a,b,c ao dividir. Nos intervalos (- infty,-3),(-3,-2),(-2,0) obtém-se:
  • lambda<-3,: (alpha,beta,gamma)=(-,+,-); Longrightarrow uma positiva e duas negativas Rightarrow hiperbolóide de duas folhas.
  • -3<lambda<-2,: (alpha,beta,gamma)=(-,-,-); Longrightarrow todos negativos Rightarrow quádric-a imaginária (sem pontos reais).
  • -2<lambda<0,: (alpha,beta,gamma)=(+,-,-); Longrightarrow uma positiva e duas negativas Longrightarrow hiperbolóide de duas folhas.

Passo 5

Casos degenerados. A quadric-a é degenerada sempre que (coeficiente zero) ou (RHS nulo). Logo degenera em
Nesses valores surge cilindro (quando só um coeficiente é zero e RHS ) ou cone/pares de planos (quando RHS ).

Resposta

Para lambdaneq0,1,pm2,pm3:
  • Se lambda>0 e 0<lambda<1: hiperbolóide de duas folhas.
  • Se lambda>0 e 1<lambda<2: hiperbolóide de uma folha.
  • Se lambda>0 e 2<lambda<3: elipsoide.
  • Se lambda>0 e lambda>3: hiperbolóide de uma folha.
  • Se lambda<0 e lambda<-3: hiperbolóide de duas folhas.
  • Se lambda<0 e -3<lambda<-2: quádric-a imaginária (sem pontos reais).
  • Se lambda<0 e -2<lambda<0: hiperbolóide de duas folhas.
A quádric-a é degenerada exatamente em
lambdain,0,,1,,2,,-2,,3,,-3

Exercícios relacionados