Seja a família de quádricas
Classifique, em função de
, a quádrica
. Para que valores de
, a quádrica é degenerada?
Passo 1
O enunciado nos dá a família de quádricas
O conteúdo aqui é classificação de quádricas centrais ou degeneradas a partir dos sinais dos coeficientes da forma quadrática diagonal. Para resolver, vamos:
. Identificar os coeficientes
.
. Para
, dividir a equação por
e obter
Passo 2
Calculemos os zeros de
e identifiquemos os pontos em que muda o sinal de
:
-
; ; . -
; ; . -
; ; ou .
Portanto os valores críticos são
Em cada intervalo entre esses pontos fixamos o sinal de
,
e
, lembrando que a divisão inverte todos os sinais se
.
Passo 3
Classificação para
. Nestes casos dividimos por
e obtemos os coeficientes
Em cada intervalo
;contamos os sinais de
:
-
,: ; um coeficiente positivo e dois negativos hiperbolóide de duas folhas. -
,: ; dois coeficientes positivos e um negativo hiperbolóide de uma folha. -
,: ; todos positivos elipsoide. -
,: ; dois positivos e um negativo hiperbolóide de uma folha.
Passo 4
Classificação para
. Aqui
inverte os sinais de
ao dividir. Nos intervalos
obtém-se:
-
,: ; uma positiva e duas negativas hiperbolóide de duas folhas. -
,: ; todos negativos quádric-a imaginária (sem pontos reais). -
,: ; uma positiva e duas negativas hiperbolóide de duas folhas.
Passo 5
Casos degenerados. A quadric-a é degenerada sempre que (coeficiente zero) ou
(RHS nulo). Logo degenera em
Nesses valores surge cilindro (quando só um coeficiente é zero e RHS
) ou cone/pares de planos (quando RHS
).
Resposta
Para
:
- Se
e : hiperbolóide de duas folhas. - Se
e : hiperbolóide de uma folha. - Se
e : elipsoide. - Se
e : hiperbolóide de uma folha. - Se
e : hiperbolóide de duas folhas. - Se
e : quádric-a imaginária (sem pontos reais). - Se
e : hiperbolóide de duas folhas.
A quádric-a é degenerada exatamente em