Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q: x^29+y^24+z^216=1 e pi: y=raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva de interseção entre a quádrica Q:x^29+y^24+z^216=1 e o plano pi:y=raiz3. O conteúdo principal é seção de quádricas e vamos precisar substituir y=raiz3 na equação do elipsoide e reconhecer a cônica resultante.

Passo 2

Substituindo y=raiz3 em Q obtemos:
x^29+(raiz3)^24+z^216=1
Como (raiz3)^2=3, simplificamos:
x^29+34+z^216=1 Longrightarrow x^29+z^216=1-34=14

Passo 3

Para pôr na forma padrão de elipse, dividimos ambos os lados por tfrac14:
x^2/91/4+z^2/161/4=1 Longrightarrow x^29/4+z^24=1
Isso mostra que a seção é uma elipse no plano y=raiz3, com semi-eixo em x de
b=raiz94=32,
e semi-eixo em z de
a=raiz4=2

Passo 4

O centro dessa elipse é o ponto onde x=0, z=0 e y=raiz3, ou seja (0,raiz3,0). Os eixos principais ficam orientados paralelamente aos eixos x e z do espaço, ambos contidos no plano y=raiz3.

Passo 5

Para terminar, calculamos a excentricidade e os focos. Como o semi-eixo maior é a=2 (direção z) e o menor é b=3/2 (direção x), temos
e=raiz1-b^2a^2=raiz1-(3/2)^22^2=raiz1-916=raiz74
Os focos ficam no centro deslocados ao longo do eixo maior, ou seja em
(0,raiz3,pm ae)=(0,raiz3,pm2cdottfracraiz74)=(0,raiz3,pmtfracraiz72)

Resposta

A seção Qcappi é a elipse no plano y=raiz3 dada por
x^29/4+z^24=1,
com centro em (0,raiz3,0), semi-eixos de comprimento b=3/2 na direção x e a=2 na direção z, excentricidade e=tfracraiz74 e focos em (0,raiz3,pmtfracraiz72).

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