Considere as quádricas
e os planos
dados abaixo. Determine a seção plana
. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a curva de interseção entre a quádrica
e o plano
. O conteúdo principal é seção de quádricas e vamos precisar substituir
na equação do elipsoide e reconhecer a cônica resultante.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos:
Como
Passo 3
Para pôr na forma padrão de elipse, dividimos ambos os lados por
:
Isso mostra que a seção é uma elipse no plano
e semi-eixo em
de
Passo 4
O centro dessa elipse é o ponto onde
,
e
, ou seja
. Os eixos principais ficam orientados paralelamente aos eixos
e
do espaço, ambos contidos no plano
.
Passo 5
Para terminar, calculamos a excentricidade e os focos. Como o semi-eixo maior é
(direção
) e o menor é
(direção
), temos
Os focos ficam no centro deslocados ao longo do eixo maior, ou seja em
Resposta
A seção
é a elipse no plano
dada por
com centro em