Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q: x^2+4 y^2=z^2 e pi: z=2.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da quádricas Q: x^2+4y^2=z^2 com o plano pi: z=2. O tema é seção de quádricas por planos, e vamos usar substituição de variáveis e identificação de cônicas resultantes.

Passo 2

Substituímos z=2 na equação de Q:
x^2+4y^2=z^2Rightarrow x^2+4y^2=2^2=4

Passo 3

Reordenamos e dividimos ambos os lados por 4 para colocar em forma padrão de cônica:
x^24+4y^24=1Rightarrow x^24+y^2=1
Essa é a equação de uma elipse no plano z=2. Teoria: uma elipse genérica em forma x^2/a^2+y^2/b^2=1 tem centro na origem, semi-eixos a e b, e está orientada segundo os eixos coordenados.

Passo 4

Comparando com x^2/4+y^2=1, temos semi-eixo maior a=2 ao longo do eixo x e semi-eixo menor b=1 ao longo do eixo y. O centro é (0,0,2).
Para encontrar os focos, usamos c=raiza^2-b^2=raiz4-1=raiz3. Assim, os focos são (pmraiz3,0,2) e a excentricidade é e=c/a=raiz3/2.

Resposta

A seção Qcappi é uma elipse no plano z=2 dada por
x^24+y^2=1
Seus elementos principais são:
centro em (0,0,2), semi-eixo maior a=2 ao longo de x, semi-eixo menor b=1 ao longo de y, focos em (pmraiz3,0,2) e excentricidade e=raiz3/2.

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