Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro e classificar a quádricas dada pela equação de segundo grau em x,y,z. Vamos usar o conteúdo de classificação de quádricas e completar o quadrado para eliminar termos lineares e achar a forma canônica.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos por variável e colocamos o coeficiente do quadrado em evidência:
que reescrevemos como
Passo 3
Agora completamos o quadrado em cada grupo e ajustamos a constante global:
Para y:
Para y:
Para x:
Para z:
Substituindo de volta em
expandindo os termos constantes:
que dá
Passo 4
Passamos o -36 para o outro lado e dividimos por 36 para obter a forma canônica:
Passo 5
Da forma canônica, vemos que as translações são
e portanto o centro fica em (-1,2,3).
Passo 6
Para classificar, observamos os sinais dos termos na forma
Há um termo positivo e dois negativos, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, orientado segundo o eixo correspondente ao termo positivo (aqui o eixo y).
Resposta
Centro em (-1, 2, 3) e trata-se de um hiperbolóide de duas folhas orientado no eixo y.