Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
4 y^2-3 x^2-6 z^2-16 y-6 x+36 z-77=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro e classificar a quádricas dada pela equação de segundo grau em x,y,z. Vamos usar o conteúdo de classificação de quádricas e completar o quadrado para eliminar termos lineares e achar a forma canônica.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos por variável e colocamos o coeficiente do quadrado em evidência:
4y^2-16y;-igl(3x^2+6xr)-6z^2+36z-77=0 
que reescrevemos como
4l(y^2-4yr)-3l(x^2+2xr)-6l(z^2-6zr)-77=0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo e ajustamos a constante global:
Para y:
y^2-4y=(y-2)^2-4
Para x:
x^2+2x=(x+1)^2-1
Para z:
z^2-6z=(z-3)^2-9
Substituindo de volta em
4[(y-2)^2-4]-3[(x+1)^2-1]-6[(z-3)^2-9]-77=0
expandindo os termos constantes:
4(y-2)^2-16-3(x+1)^2+3-6(z-3)^2+54-77=0
que dá
-3(x+1)^2+4(y-2)^2-6(z-3)^2-36=0

Passo 4

Passamos o -36 para o outro lado e dividimos por 36 para obter a forma canônica:
-3(x+1)^2+4(y-2)^2-6(z-3)^2=36
iff -(x+1)^212+(y-2)^29-(z-3)^26=1

Passo 5

Da forma canônica, vemos que as translações são
X=x+1, Y=y-2, Z=z-3
e portanto o centro fica em (-1,2,3).

Passo 6

Para classificar, observamos os sinais dos termos na forma
-X^212+Y^29-Z^26=1
Há um termo positivo e dois negativos, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, orientado segundo o eixo correspondente ao termo positivo (aqui o eixo y).

Resposta

Centro em (-1, 2, 3) e trata-se de um hiperbolóide de duas folhas orientado no eixo y.

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