Considere quatro massas pontuais (portanto, discretas), ligadas por hastes rígidas sem massa, de maneira a formar um quadrado de lado L. Calcule o momento de Inércia:
Por um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo centro de massa do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um quadrado formado por quatro massas pontuais ligadas por hastes rígidas e sem massa, cada lado com comprimento $ L $. A missão é calcular o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do quadrado e passa pelo seu centro de massa. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, saber como calcular para massas pontuais e usar um pouco de geometria para descobrir as distâncias envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Para um sistema de massas pontuais, a fórmula é:
I = sumi mi ri^2
onde $ m_i $ é a massa de cada ponto e $ r_i $ é a distância desse ponto ao eixo de rotação. Ou seja, a gente soma o produto da massa de cada ponto pelo quadrado da sua distância ao eixo.

Passo 3

Agora, vamos identificar as posições das quatro massas em relação ao eixo que passa pelo centro do quadrado. Em um quadrado, as massas estão nos quatro vértices, e o eixo está exatamente no meio. Então, cada massa está a uma certa distância do centro que precisamos calcular.

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada massa ao centro do quadrado. Como o lado do quadrado é $ L $, a distância do centro a qualquer vértice pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. Em um quadrado, a distância do centro a um vértice é:
L
Isso porque o triângulo formado pela metade do quadrado é isósceles e tem lados iguais de $ \frac{L}{2} $, então:
r = Lraiz2

Passo 5

Agora que temos a distância $ r $ de cada massa ao eixo, vamos aplicar a fórmula do momento de inércia. Supondo que todas as massas sejam iguais e tenham valor $ m $, o momento de inércia total será:
r
Aqui, multiplicamos por 4 porque são quatro massas iguais.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
I = 4 times m times L^22 = 2 m L^2
Então, o momento de inércia total do sistema é $ 2 m L^2 $.

Resposta

O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo perpendicular ao plano passando pelo centro é $ I = 2 m L^2 $.

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