Considere quatro massas pontuais (portanto, discretas), ligadas por hastes rígidas sem massa, de maneira a formar um quadrado de lado L. Calcule o momento de Inércia:
Por um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo centro de massa do quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um quadrado formado por quatro massas pontuais ligadas por hastes rígidas e sem massa, cada lado com comprimento $ L $. A missão é calcular o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do quadrado e passa pelo seu centro de massa. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, saber como calcular para massas pontuais e usar um pouco de geometria para descobrir as distâncias envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Para um sistema de massas pontuais, a fórmula é:
onde $ m_i $ é a massa de cada ponto e $ r_i $ é a distância desse ponto ao eixo de rotação. Ou seja, a gente soma o produto da massa de cada ponto pelo quadrado da sua distância ao eixo.
Passo 3
Agora, vamos identificar as posições das quatro massas em relação ao eixo que passa pelo centro do quadrado. Em um quadrado, as massas estão nos quatro vértices, e o eixo está exatamente no meio. Então, cada massa está a uma certa distância do centro que precisamos calcular.
Passo 4
Vamos calcular a distância de cada massa ao centro do quadrado. Como o lado do quadrado é $ L $, a distância do centro a qualquer vértice pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. Em um quadrado, a distância do centro a um vértice é:
Isso porque o triângulo formado pela metade do quadrado é isósceles e tem lados iguais de $ \frac{L}{2} $, então:
Passo 5
Agora que temos a distância $ r $ de cada massa ao eixo, vamos aplicar a fórmula do momento de inércia. Supondo que todas as massas sejam iguais e tenham valor $ m $, o momento de inércia total será:
Aqui, multiplicamos por 4 porque são quatro massas iguais.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Então, o momento de inércia total do sistema é $ 2 m L^2 $.
Resposta
O momento de inércia do quadrado em relação ao eixo perpendicular ao plano passando pelo centro é $ I = 2 m L^2 $.