Uma esfera de massa M e raio R desce rolando (sem deslizar) ao longo de um plano inclinado de um ângulo theta em relação à horizontal. Determine a velocidade da esfera ao atingir a base do plano utilizando: (a) considerações sobre energia; (b) a 2^a lei de Newton; © calcule a força de atrito que age sobre a esfera.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma esfera de massa e raio rola sem deslizar do topo até a base de um plano inclinado com ângulo . A gente quer:
a) achar a velocidade ao chegar embaixo usando conservação de energia;
b) achar a mesma velocidade usando a 2ª lei de Newton (dinâmica translacional + rotacional);
c) calcular a força de atrito que atua.
Isso é tudo de mecânica clássica:
• momento de inércia da esfera:
• condição de não-deslizamento:
• energia mecânica e as equações de Newton para translação e rotação.

Passo 2

(a) Conservação de energia
  1. No topo a esfera está em repouso, então
    Erm fin = tfrac12,M,v^2 + tfrac12,I,omega^2 = tfrac12,M,v^2 + tfrac12l(tfrac25MR^2r)l(tfrac vRr)^2 = tfrac12M v^2 + tfrac15M v^2 = tfrac710M v^2 ,
    onde Mgh = 710M v^2 Longrightarrow v^2 = 107,g,h Longrightarrow v = raiz107,g,h é a altura vertical do plano inclinado.
  2. Na base ela terá energia cinética de translação + rotação: v = raiz107,g,s,sintheta
  3. Igualando :
E como (se for o comprimento do plano), dá

Passo 3

(b) 2ª lei de Newton + torque
  1. Translação no CM:
    Frm atrito,R = 25MR^2cdot aR Longrightarrow Frm atrito = 25M,a .
  2. Rotação em torno do CM:
    M,a = M gsintheta - 25M,a Longrightarrow al(1+tfrac25r) = gsintheta Longrightarrow a = 57,gsintheta .
  3. Não desliza: .
  4. Substituindo e :
  5. Volta na eq. da translação:
  6. Da cinemática, partindo do repouso e percorrendo :
    ,
    ou , igual ao passo 2.

Passo 4

© Força de atrito
Já achamos lá atrás:
Frm atrito = 25,M,a = 25,Mcdot57,gsintheta = 27,M,gsintheta,
e atua subindo o plano (para impedir o deslizamento).

Resposta

Velocidade ao chegar na base:
boxedv = raiz107,g,h = raiz107,g,s,sintheta
Força de atrito:
boxedFrm atrito = 27,M,g,sintheta,direção subindo o plano çã

Exercícios relacionados