Uma esfera de massa
e raio
desce rolando (sem deslizar) ao longo de um plano inclinado de um ângulo
em relação à horizontal. Determine a velocidade da esfera ao atingir a base do plano utilizando: (a) considerações sobre energia; (b) a
lei de Newton; © calcule a força de atrito que age sobre a esfera.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que uma esfera de massa
e raio
rola sem deslizar do topo até a base de um plano inclinado com ângulo
. A gente quer:
a) achar a velocidade ao chegar embaixo usando conservação de energia;
b) achar a mesma velocidade usando a 2ª lei de Newton (dinâmica translacional + rotacional);
c) calcular a força de atrito que atua.
a) achar a velocidade ao chegar embaixo usando conservação de energia;
b) achar a mesma velocidade usando a 2ª lei de Newton (dinâmica translacional + rotacional);
c) calcular a força de atrito que atua.
Isso é tudo de mecânica clássica:
• momento de inércia da esfera:
• condição de não-deslizamento:
• energia mecânica e as equações de Newton para translação e rotação.
• momento de inércia da esfera:
• condição de não-deslizamento:
• energia mecânica e as equações de Newton para translação e rotação.
Passo 2
(a) Conservação de energia
- No topo a esfera está em repouso, então
,
ondeé a altura vertical do plano inclinado. - Na base ela terá energia cinética de translação + rotação:
- Igualando
:
E como
(se
for o comprimento do plano), dá
Passo 3
(b) 2ª lei de Newton + torque
- Translação no CM:
. - Rotação em torno do CM:
. - Não desliza:
. - Substituindo
e : - Volta na eq. da translação:
- Da cinemática, partindo do repouso e percorrendo
:
,
ou, igual ao passo 2.
Passo 4
© Força de atrito
Já achamos lá atrás:
Já achamos lá atrás:
e atua subindo o plano (para impedir o deslizamento).
Resposta
Velocidade ao chegar na base:
Força de atrito: