Considere um pára-quedista em queda livre, sem o acionamento do páraquedas. Determine a sua velocidade como função do tempo e sua velocidade limite (t infty). Considere v(0)=0. Obs.: Considere
P=m g= peso do paraquedista com o pára-quedas
R=-gamma v= resistência do ar

Passo 1

O enunciado considera um paraquedista em queda livre sem acionar o paraquedas, sujeito ao peso P = m g (para baixo) e à resistência do ar R = -gamma v (para cima). Vamos modelar isso por uma equação diferencial de primeira ordem e encontrar a solução v(t) com v(0)=0, depois calcular a velocidade limite quando ttoinfty.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton ( Frm res = m,dv/dt), tomando para baixo como sentido positivo, obtemos
m dvdt = mg - gamma v
Dividindo por m, a equação fica
dvdt + gammam,v = g,
que é uma ODE linear com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, usamos o fator integrante mu(t)=e^(gamma/m)t. Multiplicando a ODE por mu(t) resulta
ddt!l(v,e^gammamtr) = g,e^gammamt
Integrando em t,
v,e^gammamt = integral g,e^gammamt,dt = mggamma,e^gammamt + C
Isolando v,
v(t) = mggamma + C,e^-gammamt

Passo 4

Impondo a condição inicial v(0)=0, temos
0 = mggamma + C Longrightarrow C = -mggamma
Assim
v(t) = mggammal(1 - e^-gammamtr)

Passo 5

A velocidade limite é
limttoinftyv(t) = mggammal(1 - 0r) = mggamma

Resposta

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