Considere a questão:
“Considere o conjunto S=(x, y, z) in R^3, y=x e z=raizx S=(x, y, z) in R^3 ; y=x e z=raizx.
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.”
Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 1: Tem-se u=(x1, x1, raizx1) e v=(x2, x2, raizx2) in S e k in R :
Linha 2: i) u+v=(x1, x1, raizx1)+(x2, x2, raizx2)=(x1+x2, x1+x2, raizx1+x2) in S
Linha 3: ii) k cdot v=k cdot(x2, x2, raizx2)=(k cdot x2, k cdot x2, raizk cdot x2) in S e k in R
Linha 4: Portanto, S é subespaço de R^3.
A resolução do estudante está incorreta.
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever “correta”:

Passo 1

Linha 1 corrigida: Tem-se
u=(x1,x1,raizx1)e v=(x2,x2,raizx2)in S,
com x1>=0 e x2>=0.

Passo 2

Linha 2 corrigida:
u+v=(x1+x2,,x1+x2,,raizx1+raizx2),
e como em geral raizx1+raizx2neqraizx1+x2, temos u+vnotin S.

Passo 3

Linha 3 corrigida:
kcdot v=(k,x2,,k,x2,,k,raizx2),
e como em geral kraizx2neqraizk,x2, segue kcdot vnotin S.

Passo 4

Linha 4 corrigida: Portanto, S não é subespaço de R^3 porque não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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