Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^3. Justifique com argumentos matemáticos.
(-1,3,2),(1,0,2),(-1,6,6)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto (-1,3,2),,(1,0,2),,(-1,6,6) forma uma base de R^3. O que precisamos é checar se esses três vetores são linearmente independentes. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o seu determinante.
Lembrete: um conjunto de três vetores em R^3 é base se, e somente se, for linearmente independente. Linearmente independente aqui equivale a exigir que o determinante da matriz formada por esses vetores seja diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores dados:
M = -1 & 1 & -1 3 & 0 & 6 2 & 2 & 6

Passo 3

Calculamos det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) = -1cdotdet!0 & 62 & 6 -1cdotdet!3 & 62 & 6 +(-1)cdotdet!3 & 02 & 2
Agora cada menor 2times 2:
det!0 & 62 & 6 =0cdot6 - 6cdot2 = -12, det!3 & 62 & 6 =3cdot6 - 6cdot2 = 6,
det!3 & 02 & 2 =3cdot2 - 0cdot2 = 6
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det(M) = -1cdot(-12) -1cdot6 +(-1)cdot6 = 12 - 6 - 6 = 0

Passo 4

Como det(M)=0, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não formam uma base de R^3.

Resposta

O conjunto não forma base de R^3, pois seus vetores são linearmente dependentes ( det=0).

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