Considere para as questões: c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}: \quad \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ; \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
( 2,5 pontos) Em um circuito LC oscilante com C=120,0 \mu \mathrm{~F} a corrente é dada por i= (1,60) \operatorname{sen}(2500 t-0,680), onde t está em segundos, i em amperes e a constante de fase em radianos.
Quanto tempo após o instante t=0 a corrente atinge o valor máximo?

Passo 1

O enunciado dá a corrente no circuito LC como
i(t)=1,60\sin(2500\,t-0,680),
onde t está em segundos e i em ampères. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude da corrente: 1,60\\ \mathrm{A} (valor máximo absoluto que a corrente pode atingir).
  • \omega=2500 é a velocidade angular da oscilação, em rad/s.
  • A constante de fase (deslocamento de fase) é -0,680 radianos.
O que o problema pede:
  • Calcular quanto tempo após o instante t=0 a corrente atinge o valor máximo (ou seja, o primeiro instante t>0 em que i(t) é máximo).

Passo 2

Entendendo quando a função seno atinge o máximo: a função \sin(\theta) atinge o valor máximo +1 quando o argumento \theta é igual a
\theta=\frac{\pi}{2}+2\pi k,
onde k é qualquer inteiro ( k\in\mathbb{Z}). Aqui \theta é o argumento dentro do seno. Como a corrente é i(t)=1,60\sin(\theta(t)), o valor máximo da corrente (igual a 1,60\\ \mathrm{A}) ocorre exatamente quando \sin(\theta(t))=1, ou seja quando \theta(t)=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k.
Comentário didático rápido sobre \omega e período:
  • A velocidade angular \omega relaciona-se ao período T da oscilação por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
No nosso caso \omega=2500 rad/s, então o período é T=\dfrac{2\pi}{2500} s — isso serve para saber que os máximos se repetem a cada T segundos.

Passo 3

Aplicando a condição de máximo ao argumento da função do enunciado. Aqui o argumento é
\theta(t)=2500\,t-0,680.
Impondo \theta(t)=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, obtemos a equação para os instantes dos máximos:
2500\,t-0,680=\frac{\pi}{2}+2\pi k.
Isolando t:
t=\frac{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k+0,680}{2500}.
Nesta expressão:
  • k é um inteiro que gera todos os instantes em que o seno vale +1;
  • queremos o menor t>0 (o primeiro máximo após t=0).

Passo 4

Determinar o menor t>0. Testamos k=0 (o candidato natural para o primeiro máximo):
Calcular numericamente o numerador:
\frac{\pi}{2}\approx 1,570796327,
portanto
\dfrac{\pi}{2}+0,680\approx 1,570796327+0,680=2,250796327.
Agora dividir por 2500:
t_{k=0}=\frac{2,250796327}{2500}\approx 0,000900318531\\ \mathrm{s}.
Convertendo para unidades mais usuais:
t_{k=0}\approx 9,00\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}=0,900\\ \text{ms}\approx 900,3\\ \mu\text{s}.
Verificação rápida: se tentássemos k=-1 obteríamos um t negativo (pois subtrairíamos 2\pi do numerador), então não vale para t>0. Para k=1 apareceria o próximo máximo, que fica adiante em uma distância temporal de aproximadamente o período T.

Passo 5

Interpretação final e encorajamento: o primeiro instante positivo em que o seno atinge +1 (logo i(t) atinge seu valor máximo 1,60\\ \mathrm{A}) é o calculado acima. É isso — método direto: achar quando o argumento do seno é \pi/2 (mod 2\pi) e resolver para t. Dá para fazer isso de cabeça com calma: somar a fase, dividir por \omega e pronto. Vai dar certo na prova!

Resposta

t\approx 9,00\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}

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