Considere para as questões: c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}: \quad \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ; \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
( 2,5 pontos) Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda de 3,84 \mathrm{~cm} e a amplitude do campo \vec{E} igual a 1,35 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. (a) Qual é a frequência? (b) Qual é a amplitude do campo \vec{B} ? (c) Qual a intensidade? (d) Qual é a força média que essa radiação exerce sobre a superfície totalmente absorvedora perpendicular à direção de propagação com área igual a 0,440 \mathrm{~m}^{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado).
  • Comprimento de onda: \lambda=3{,}84\\ \mathrm{cm}=0{,}0384\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude do campo elétrico: E_{0}=1{,}35\\ \mathrm{V/m}.
  • Constantes fornecidas: c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Área da superfície: A=0{,}440\\ \mathrm{m^{2}}.
O enunciado pede:
(a) a frequência da onda;
(b) a amplitude do campo magnético \vec{B} (ou seja B_{0});
(c) a intensidade média (irradiância) da onda;
(d) a força média que a radiação exerce sobre a superfície totalmente absorvedora e perpendicular à direção de propagação.

Passo 2

Calcular a frequência.
Fórmula básica para onda eletromagnética em vácuo/ar:
f=\frac{c}{\lambda},
onde f é a frequência (Hz), c é a velocidade da luz (m/s) e \lambda é o comprimento de onda (m).
Substituindo os valores:
f=\frac{3\times10^{8}}{0{,}0384}=7{,}8125\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados):
f\approx7{,}81\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular a amplitude do campo magnético B_{0}.
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo/ar os campos elétrico e magnético estão relacionados por
E_{0}=c\,B_{0},
onde E_{0} é a amplitude do campo elétrico (V/m), B_{0} é a amplitude do campo magnético (T) e c é a velocidade da luz (m/s). Essa relação vem das equações de Maxwell para ondas planas (significa que E e B têm magnitudes proporcionais e B é muito menor numericamente porque c é grande).
Isolando B_{0}:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.
Substituindo:
B_{0}=\frac{1{,}35}{3\times10^{8}}=4{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
Com três algarismos significativos:
B_{0}\approx4{,}50\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Calcular a intensidade média \langle S\rangle (irradiância).
Definição física: o vetor de Poynting instantâneo tem magnitude
S(t)=\frac{1}{\mu_{0}}\,|\vec{E}(t)\times\vec{B}(t)|,
e para uma onda harmônica plana a intensidade média (sobre o tempo) é
\langle S\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}}\,E_{0}B_{0}.
Outra forma útil, substituindo B_{0}=E_{0}/c, é
\langle S\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}}E_{0}\frac{E_{0}}{c}=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}.
Usando a relação c^{2}=\dfrac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}} pode-se também escrever
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}cE_{0}^{2},
forma frequentemente mais prática numericamente.
Vou usar \langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0}cE_{0}^{2}. Aqui: \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (F/m), c é a velocidade da luz (m/s), E_{0} é a amplitude (V/m), e o resultado tem unidades de \mathrm{W/m^{2}}.
Calcule passo a passo:
\varepsilon_{0}c=(8{,}85\times10^{-12})(3\times10^{8})=2{,}655\times10^{-3}.
E_{0}^{2}=(1{,}35)^{2}=1{,}8225.
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\times2{,}655\times10^{-3}\times1{,}8225 =2{,}41935\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\langle S\rangle\approx2{,}42\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Calcular a força média sobre a superfície totalmente absorvedora.
Para radiação incidente perpendicularmente, a pressão de radiação média sobre uma superfície que absorve totalmente a energia é
p=\frac{\langle S\rangle}{c},
onde p tem unidades de \mathrm{N/m^{2}}. A força média sobre uma área A é
F=p\,A=\frac{\langle S\rangle}{c}\,A.
Substituindo \langle S\rangle=2{,}41935\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}, c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e A=0{,}440\\ \mathrm{m^{2}}:
\frac{\langle S\rangle}{c}=\frac{2{,}41935\times10^{-3}}{3\times10^{8}}=8{,}0645\times10^{-12}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
F=\left(8{,}0645\times10^{-12}\right)\times0{,}440=3{,}547\,6\times10^{-12}\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos:
F\approx3{,}55\times10^{-12}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resumo das unidades e verificação rápida:
  • Frequência em \mathrm{Hz} (s^{-1}) — ok.
  • B_{0} em tesla (T) — ok.
  • Intensidade em \mathrm{W/m^{2}} — ok.
  • Força em newton (N) — ok.

Resposta

(a) f\approx7{,}81\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}
(b) B_{0}\approx4{,}50\times10^{-9}\\ \mathrm{T}
(c) \langle S\rangle\approx2{,}42\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}
(d) F\approx3{,}55\times10^{-12}\\ \mathrm{N}

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