Considere para as questões: c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}: \quad \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ; \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
(2,5 pontos) Um circuito LC é constituído por um indutor de 80,0 \mathrm{mH} e um capacitor de 350 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial do capacitor é igual a 6,0 \mu \mathrm{C} e a corrente inicial no indutor é igual a zero. (a) Qual a voltagem máxima através do capacitor? (b) Qual a corrente máxima no indutor? (c) Qual a energia máxima acumulada no indutor? (d) Quando a corrente no indutor atinge metade do seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual a energia acumulada no indutor?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Indutância: L=80{,}0\\ \mathrm{mH}=80\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
  • Capacitância: C=350\\ \mu\mathrm{F}=350\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Carga inicial no capacitor: Q_0=6{,}0\\ \mu\mathrm{C}=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Corrente inicial no indutor: I(0)=0.
Perguntas:
(a) Qual a voltagem máxima através do capacitor?
(b) Qual a corrente máxima no indutor?
(c) Qual a energia máxima acumulada no indutor?
(d) Quando a corrente no indutor atinge metade do seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual a energia acumulada no indutor?

Passo 2

Princípio físico e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
  • Em um circuito ideal LC sem perdas a energia elétrica oscila entre o capacitor e o indutor, e a energia total é constante.
  • Energia armazenada no capacitor: U_C=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}C V^{2},
onde Q é a carga no capacitor, C a capacitância e V a tensão no capacitor (com V=Q/C).
  • Energia armazenada no indutor: U_L=\frac{1}{2}L I^{2},
onde L é a indutância e I é a corrente no indutor.
  • No instante inicial toda a energia está no capacitor (já que I(0)=0). Assim a energia total (máxima) é U_{\text{tot}}=U_{\max}=\frac{Q_0^{2}}{2C}.
Essa mesma energia, no instante de corrente máxima, estará toda no indutor: \dfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}=U_{\max}.

Passo 3

(a) Voltagem máxima no capacitor.
  • A voltagem no capacitor relaciona-se com a carga por V=\dfrac{Q}{C}. No instante inicial a carga é Q_0, então a voltagem máxima (quando Q=Q_0) é V_{\max}=\frac{Q_0}{C}.
  • Substituindo números: V_{\max}=\frac{6{,}0\times10^{-6}}{350\times10^{-6}}=\frac{6{,}0}{350}=0{,}017142857\\ \mathrm{V}.
  • Em unidades mais usuais: V_{\max}=0{,}01714\\ \mathrm{V}=17{,}14\\ \mathrm{mV}.

Passo 4

(b) Corrente máxima no indutor. Derivação e cálculo passo a passo.
  • Usando conservação de energia: \dfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}=U_{\max}=\dfrac{Q_0^{2}}{2C}. Cancelando o 1/2 e isolando I_{\max} obtém-se I_{\max}=\frac{Q_0}{\sqrt{L\,C}}.
(Explicação rápida: igualando \tfrac{1}{2}L I^2 com \tfrac{Q_0^2}{2C} e resolvendo para I dá essa expressão; é uma forma direta que evita calcular V_{\max} primeiro.)
  • Substituindo valores: primeiro calcule L C: L C=(80\times10^{-3})(350\times10^{-6})=80\cdot350\times10^{-9}=28000\times10^{-9}=2{,}8\times10^{-5}.
  • Então \sqrt{L C}=\sqrt{2{,}8\times10^{-5}}\approx0{,}0052915. Logo I_{\max}=\frac{6{,}0\times10^{-6}}{0{,}0052915}\approx1{,}134\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
  • Em miliampères: I_{\max}\approx1{,}134\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

(c) Energia máxima acumulada no indutor.
  • A energia máxima é a energia total, que podemos escrever diretamente com Q_0 e C: U_{\max}=\frac{Q_0^{2}}{2C}.
  • Substituindo: Q_0^{2}=(6{,}0\times10^{-6})^{2}=36\times10^{-12}=3{,}6\times10^{-11}. E 2C=2\cdot350\times10^{-6}=700\times10^{-6}=7{,}0\times10^{-4}. Assim U_{\max}=\frac{3{,}6\times10^{-11}}{7{,}0\times10^{-4}}=5{,}142857\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando: U_{\max}\approx5{,}14\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

(d) Quando a corrente no indutor é metade do seu valor máximo: relação entre energias e carga.
  • Seja I=\tfrac{1}{2}I_{\max}. A energia no indutor nesse instante é U_L=\frac{1}{2}L I^{2}=\frac{1}{2}L\left(\frac{I_{\max}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}L I_{\max}^{2}\right)=\frac{1}{4}U_{\max}.
Ou seja, com corrente igual a metade da máxima, o indutor armazena um quarto da energia total.
  • A energia restante no capacitor é U_C=U_{\max}-U_L=U_{\max}-\tfrac{1}{4}U_{\max}=\tfrac{3}{4}U_{\max}. Essa energia do capacitor relaciona-se com a carga Q por U_C=\dfrac{Q^{2}}{2C}. Assim \frac{Q^{2}}{2C}=\frac{3}{4}U_{\max}=\frac{3}{4}\cdot\frac{Q_0^{2}}{2C}.
  • Cancelando \dfrac{1}{2C} nos dois lados obtemos Q^{2}=\dfrac{3}{4}Q_0^{2}, portanto Q=\frac{\sqrt{3}}{2}\,Q_0.
  • Substituindo Q_0=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}: Q=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6{,}0\times10^{-6}=3{,}0\sqrt{3}\times10^{-6}\approx5{,}196152\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Em microcoulombs: Q\approx5{,}196\\ \mu\mathrm{C}.
  • A energia no indutor nesse instante já foi encontrada como \dfrac{1}{4}U_{\max}: U_L=\frac{1}{4}\cdot5{,}142857\times10^{-8}\\ \mathrm{J}\approx1{,}285714\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando: U_L\approx1{,}29\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) V_{\max}=0{,}01714\\ \mathrm{V}=17{,}14\\ \mathrm{mV}
(b) I_{\max}=1{,}134\times10^{-3}\\ \mathrm{A}=1{,}134\\ \mathrm{mA}
(c) U_{\max}=5{,}14\times10^{-8}\\ \mathrm{J}
(d) Q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}Q_0\approx5{,}196\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=5{,}196\\ \mu\mathrm{C}
(d) U_L=\dfrac{1}{4}U_{\max}\approx1{,}29\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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