Considere para as questões:
.
(2,5 pontos) Um circuito LC é constituído por um indutor de
e um capacitor de
. A carga inicial do capacitor é igual a
e a corrente inicial no indutor é igual a zero. (a) Qual a voltagem máxima através do capacitor? (b) Qual a corrente máxima no indutor? (c) Qual a energia máxima acumulada no indutor? (d) Quando a corrente no indutor atinge metade do seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual a energia acumulada no indutor?
(2,5 pontos) Um circuito LC é constituído por um indutor de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Indutância:
. - Capacitância:
. - Carga inicial no capacitor:
. - Corrente inicial no indutor:
.
Perguntas:
(a) Qual a voltagem máxima através do capacitor?
(b) Qual a corrente máxima no indutor?
(c) Qual a energia máxima acumulada no indutor?
(d) Quando a corrente no indutor atinge metade do seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual a energia acumulada no indutor?
(a) Qual a voltagem máxima através do capacitor?
(b) Qual a corrente máxima no indutor?
(c) Qual a energia máxima acumulada no indutor?
(d) Quando a corrente no indutor atinge metade do seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual a energia acumulada no indutor?
Passo 2
Princípio físico e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
- Em um circuito ideal LC sem perdas a energia elétrica oscila entre o capacitor e o indutor, e a energia total é constante.
- Energia armazenada no capacitor:
onde
é a carga no capacitor,
a capacitância e
a tensão no capacitor (com
).
- Energia armazenada no indutor:
onde
é a indutância e
é a corrente no indutor.
- No instante inicial toda a energia está no capacitor (já que
). Assim a energia total (máxima) é
Essa mesma energia, no instante de corrente máxima, estará toda no indutor:
.
Passo 3
(a) Voltagem máxima no capacitor.
- A voltagem no capacitor relaciona-se com a carga por
. No instante inicial a carga é , então a voltagem máxima (quando ) é - Substituindo números:
- Em unidades mais usuais:
Passo 4
(b) Corrente máxima no indutor. Derivação e cálculo passo a passo.
- Usando conservação de energia:
. Cancelando o e isolando obtém-se
(Explicação rápida: igualando
com
e resolvendo para
dá essa expressão; é uma forma direta que evita calcular
primeiro.)
- Substituindo valores: primeiro calcule
: - Então
. Logo - Em miliampères:
Passo 5
(c) Energia máxima acumulada no indutor.
- A energia máxima é a energia total, que podemos escrever diretamente com
e : - Substituindo:
. E . Assim - Arredondando:
Passo 6
(d) Quando a corrente no indutor é metade do seu valor máximo: relação entre energias e carga.
- Seja
. A energia no indutor nesse instante é
Ou seja, com corrente igual a metade da máxima, o indutor armazena um quarto da energia total.
- A energia restante no capacitor é
. Essa energia do capacitor relaciona-se com a carga por . Assim - Cancelando
nos dois lados obtemos , portanto - Substituindo
: - Em microcoulombs:
. - A energia no indutor nesse instante já foi encontrada como
: - Arredondando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(d)
(b)
(c)
(d)
(d)