Considere o R-espaço vetorial R^3 e a sua base
B=v1=(1,-1,2), v2=(1,3,0), v3=(1,0,0)
(a) Encontre as coordenadas do vetor u=(2,1,3)B em relação à base canônica de R^3.
(b) Encontre as coordenadas do vetor v=(3,5,8) em relação à base B.

Passo 1

O enunciado define o R-espaço R^3 com base
B=v1,v2,v3, onde
v1=(1,-1,2), v2=(1,3,0) e v3=(1,0,0).
Em (a) pedem as coordenadas canônicas de u sabendo que u tem coordenadas (2,1,3) em B.
Em (b) pedem as coordenadas de v=(3,5,8) em B. Para (a) usamos combinação linear; para (b) montamos um sistema linear.

Passo 2

Para (a), como u tem coordenadas l(2,1,3r) em B, escrevemos
u = 2,v1 + 1,v2 + 3,v3

Passo 3

Substituindo v1, v2 e v3 em coordenadas canônicas,
u = 2,(1,-1,2) + 1,(1,3,0) + 3,(1,0,0) = (2+1+3,,-2+3+0,,4+0+0) = (6,1,4)

Passo 4

Para (b), buscamos alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = (3,5,8)
Componentes dão o sistema
alpha + beta + gamma = 3, -alpha + 3beta = 5, 2alpha = 8

Passo 5

Da terceira equação 2alpha = 8 segue alpha = 4. Substituindo na segunda,
-4 + 3beta = 5 Longrightarrow 3beta = 9 Longrightarrow beta = 3

Passo 6

Finalmente, colocando alpha=4 e beta=3 na primeira equação,
4 + 3 + gamma = 3 Longrightarrow gamma = -4
Logo, as coordenadas de v em B são (4,3,-4).

Resposta

(a) As coordenadas canônicas de u são (6,1,4).
(b) As coordenadas de v em B são (4,3,-4).

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