Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial R^4. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor v=(-1,-4,-18,6) em relação a base dada.
B=(2,0,4,1),(1,-1,0,1),(0,1,3,-2),(1,0,0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
B=, (2,0,4,1),,(1,-1,0,1),,(0,1,3,-2),,(1,0,0,1)
e nos pede para verificar se ele é base de R^4 (isto é, se é linearmente independente e gera R^4) e, em caso afirmativo, expressar
v = (-1,-4,-18,6)
em coordenadas nessa base. Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores de B e mostrar que ela é invertível; em seguida resolveremos a combinação linear.

Passo 2

Formamos a matriz
M = 2 & 1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 4 & 0 & 3 & 0 1 & 1 & -2 & 1 ,
aplicamos eliminação de Gauss sobre as linhas e obtemos uma forma triangular superior:
2 & 1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & -tfrac52
Como o determinante é o produto dos pivôs, temos
det(M) = 2 times (-1)times 1 times l(-tfrac52r) = 5 neq 0
Logo M é invertível, o que mostra que B é de fato uma base de R^4.

Passo 3

Como B é base, existe única combinação
a,(2,0,4,1);+;b,(1,-1,0,1);+;c,(0,1,3,-2);+;d,(1,0,0,1) =;(-1,-4,-18,6)

Passo 4

Traduzimos em sistema de equações:
2a + b + d = -1, -,b + c = -4, 4a + 3c = -18, a + b -2c + d = 6

Passo 5

Resolvendo em etapas:
Da segunda equação segue
Substituindo em
Da primeira equação isolamos
E na última equação
substituímos e acima, o que leva a
Agora o sistema em é
Resolvendo obtemos . Daí

Resposta

As coordenadas de v em relação a B são
(a,b,c,d) = (-3,,2,,-2,,3)

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