Considere o R-espaço vetorial R^4 e o subconjunto
W=(x, y, z, w) in R^4 mid x+y=0 e z-w=0
(a) Prove que W é um subespaço de R^4.
(b) Encontre uma base de W.
(c) Qual a dimensão de W ?

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial R^4 e define
W=(x,y,z,w)inR^4mid x+y=0 e z-w=0
Vamos usar teoria de subespaços (não vazio, fechado em soma e multiplicação escalar), depois parametrizar W para extrair uma base e, finalmente, determinar sua dimensão.

Passo 2

Mostramos que W é subespaço de R^4:
  1. O vetor nulo 0=(0,0,0,0) satisfaz 0+0=0 e 0-0=0, logo 0in W.
  2. Se u=(x1,y1,z1,w1)in W e v=(x2,y2,z2,w2)in W, então
(x1+y1)=0,(z1-w1)=0,(x2+y2)=0,(z2-w2)=0
Assim, para u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,w1+w2) vale
(x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0,
(z1+z2)-(w1+w2)=(z1-w1)+(z2-w2)=0+0=0,
portanto u+vin W.
3. Se alphainR e u=(x,y,z,w)in W, então
alpha x+alpha y=alpha(x+y)=alphacdot0=0, alpha z-alpha w=alpha(z-w)=alphacdot0=0,
logo alpha uin W.
Conclusão: W é subespaço.

Passo 3

Para encontrar uma base, parametrizamos W. As equações x+y=0 e z-w=0 dão
y=-x, w=z
Portanto
(x,y,z,w)=(x,-x,z,z) =x,(1,-1,0,0)+z,(0,0,1,1)

Passo 4

Os vetores
v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1)
geram W por combinação linear e são linearmente independentes, pois
alpha v1+beta v2=(0,0,0,0) implies (alpha, -alpha, beta, beta)=(0,0,0,0)
só se alpha=beta=0. Logo v1,v2 é base de W.

Passo 5

Uma base de W tem dois vetores, então
dim W=2

Resposta

(a) W é subespaço de R^4.
(b) Uma base é (1,-1,0,0),,(0,0,1,1).
(c) dim W=2.

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