Considere o
-espaço vetorial
e o subconjunto
(a) Prove que
é um subespaço de
.
(b) Encontre uma base de
.
(c) Qual a dimensão de
?
(b) Encontre uma base de
(c) Qual a dimensão de
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
e define
Vamos usar teoria de subespaços (não vazio, fechado em soma e multiplicação escalar), depois parametrizar
para extrair uma base e, finalmente, determinar sua dimensão.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
:
- O vetor nulo
satisfaz e , logo . - Se
e , então
Assim, para
vale
portanto
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Conclusão: é subespaço.
Conclusão:
Passo 3
Para encontrar uma base, parametrizamos
. As equações
e
dão
Portanto
Passo 4
Os vetores
geram
por combinação linear e são linearmente independentes, pois
só se
. Logo
é base de
.
Passo 5
Uma base de
tem dois vetores, então
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) Uma base é .
(c) .
(b) Uma base é
(c)