Exercício 3.10.12. Dada a matriz
A=(lll 2 & 0 & 1 3 & 1 & 1 1 & 1 & 0 )
encontrar, se existe, uma matriz X in M3,1(R) tal que A X=O. Uma tal matriz é è única?

Passo 1

O enunciado pede uma matriz coluna
ou seja, resolver o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas dado por
O conteúdo aplicado é a resolução de sistema linear homogêneo, encontrando o espaço nulo de (A].

Passo 2

Vamos usar a terceira equação para expressar x2 em função de x1:
x1+x2=0 Longrightarrow x2=-x1
Agora substituímos em cada uma das outras equações:
  1. Primeira equação:
    2x1+x3=0 Longrightarrow x3=-2x1
  2. Segunda equação:
    3x1+(-x1)+(-2x1)=3x1-x1-2x1=0,
    que é uma identidade 0=0, mostrando que não impõe nova restrição.
Logo, a solução geral fica
(x1,x2,x3)=(t,,-t,,-2t),
com tinR. Em forma de matriz coluna,
X = t 1 -1 -2

Passo 3

O conjunto de todas as soluções é
l,t1-1-2;m|;tinRr,
ou seja, um subespaço unidimensional. Há infinitas soluções (além da trivial t=0), portanto não existe unicidade da solução.

Resposta

X = t 1 -1 -2 , tinR,
e a solução não é única (existe família infinita de soluções).

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