Considere e dois vetores linearmente independentes. Mostre que o elemento de área da transformação de coordenadas do plano de e para e , que são as projeções nas direções e s, respectivamente, é dado por
Para tal, lembre-se que um vetor no plano pode ser escrito como sendo , isto é, uma combinação linear de e s.
Passo 1
Estamos querendo mostrar como o elemento de área no plano ‘xy’ se transforma quando passamos para as coordenadas ‘uv’ definidas pelas projeções nas direções dos vetores e . O conteúdo usado será o cálculo do Jacobiano de uma transformação linear.
Passo 2
Sabendo que qualquer ponto também pode ser escrito como , extraímos as relações entre e :
Passo 3
Para achar o elemento de área, calculamos o determinante da matriz Jacobiana :
Passo 4
Reconhecemos que ad - bc é exatamente o produto vetorial de r por s em magnitude, ou seja |r times s|=|ad - bc|. Assim, o elemento de área se escala por esse fator em valor absoluto.