Considere r=a i+b j e s=c i+d j dois vetores linearmente independentes. Mostre que o elemento de área da transformação de coordenadas do plano de x e y para u e v, que são as projeções nas direções r e s, respectivamente, é dado por
d x d y=|r times s| d u d v
Para tal, lembre-se que um vetor p=x i+y j no plano pode ser escrito como sendo p=x i+y j=u r+v s, isto é, uma combinação linear de r e s.

Passo 1

Estamos querendo mostrar como o elemento de área no plano ‘xy’ se transforma quando passamos para as coordenadas ‘uv’ definidas pelas projeções nas direções dos vetores r=ai+bj e s=ci+dj. O conteúdo usado será o cálculo do Jacobiano de uma transformação linear.

Passo 2

Sabendo que qualquer ponto p=xi+yj também pode ser escrito como p=ur+vs, extraímos as relações entre (x,y) e (u,v):
x = a,u + c,v, y = b,u + d,v

Passo 3

Para achar o elemento de área, calculamos o determinante da matriz Jacobiana J=partial(x,y)partial(u,v):
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = a & cb & d = ad - bc

Passo 4

Reconhecemos que ad - bc é exatamente o produto vetorial de r por s em magnitude, ou seja |r times s|=|ad - bc|. Assim, o elemento de área se escala por esse fator em valor absoluto.

Resposta

dx,dy = |\mathbf{r} \times \mathbf{s}|,du,dv

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