Considere um toro gerado pela rotação de um círculo de raio
em torno do eixo
, em que o centro do círculo está a uma distância
desse eixo. Supondo que esse toro tem massa constante
mostre que o momento de inércia em torno do eixo
é dado por
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um toro sólido, de massa total M, gerado pela rotação de um círculo de raio a cujo centro está a distância b (com b>a) do eixo z. O conteúdo é integração de massa em coordenadas cilíndricas para achar I_z = ∫(r^2 up{dm}). Vamos precisar: definição de I_z, uso de coordenadas cilíndricas, mudança de variável para o disco de seção transversal e cálculo do jacobiano.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,θ,z). O toro é o conjunto de pontos (r,θ,z) tais que o ponto (r,z) no plano r–z satisfaz (r−b)2+z2≤a^2, e θ varia de 0 a 2π. A densidade volumétrica é ρ = M/Volume, com Volume = 2π^2 up{b} up{a^2} (fórmula de Pappus para toro).
Para parametrizar a seção transversal (o círculo de raio a no plano r–z), introduzimos variáveis internas ρ∈[0,a] e φ∈[0,2π]: r=b+ρ up{cosφ}, z=ρ up{sinφ}. Calculamos o jacobiano da transformação (ρ,φ)→(r,z):
Para parametrizar a seção transversal (o círculo de raio a no plano r–z), introduzimos variáveis internas ρ∈[0,a] e φ∈[0,2π]: r=b+ρ up{cosφ}, z=ρ up{sinφ}. Calculamos o jacobiano da transformação (ρ,φ)→(r,z):
Passo 3
O volume elementar em cilíndricas é dV=r up{dr} up{dθ} up{dz}. Substituindo dr up{dz}=ρ up{dρ} up{dφ} e r=b+ρ up{cosφ} temos
Passo 4
A massa total M determina ρ_m:
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Passo 5
O momento de inércia em torno de z é
Passo 6
Substituindo dV e integrando em θ surge fator 2π, ficamos com
Passo 7
Expandindo (b+ρ\cosφ)^3 e integrando em φ vai anular termos ímpares de cosφ. Restam apenas
e depois em ρ de 0 a a:
Passo 8
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Passo 9
Substituindo ρ_m=M/(2π^2b a^2) obtemos
Resposta
I_z = M\Bigl(b2+\tfrac{3}{4}a2\Bigr)