Considere um toro gerado pela rotação de um círculo de raio a em torno do eixo z, em que o centro do círculo está a uma distância b>a desse eixo. Supondo que esse toro tem massa constante M mostre que o momento de inércia em torno do eixo z é dado por
Iz=M(34 a^2+b^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um toro sólido, de massa total M, gerado pela rotação de um círculo de raio a cujo centro está a distância b (com b>a) do eixo z. O conteúdo é integração de massa em coordenadas cilíndricas para achar I_z = ∫(r^2 up{dm}). Vamos precisar: definição de I_z, uso de coordenadas cilíndricas, mudança de variável para o disco de seção transversal e cálculo do jacobiano.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,θ,z). O toro é o conjunto de pontos (r,θ,z) tais que o ponto (r,z) no plano r–z satisfaz (r−b)2+z2≤a^2, e θ varia de 0 a 2π. A densidade volumétrica é ρ = M/Volume, com Volume = 2π^2 up{b} up{a^2} (fórmula de Pappus para toro).
Para parametrizar a seção transversal (o círculo de raio a no plano r–z), introduzimos variáveis internas ρ∈[0,a] e φ∈[0,2π]: r=b+ρ up{cosφ}, z=ρ up{sinφ}. Calculamos o jacobiano da transformação (ρ,φ)→(r,z):
dr,dz= partial r/partial ρ & partial r/partial φ partial z/partial ρ & partial z/partial φ dρ,dφ=rho,dρ,dφ

Passo 3

O volume elementar em cilíndricas é dV=r up{dr} up{dθ} up{dz}. Substituindo dr up{dz}=ρ up{dρ} up{dφ} e r=b+ρ up{cosφ} temos
dV=(b+ρcosφ),ρ,dρ,dφ,dθ

Passo 4

A massa total M determina ρ_m:
M=rhomintegral0^2pi!dθintegral0^2pi!dφintegral0^a(b+ρcosφ),ρ,dρ=2pirhomcdotpi b a^2=2pi^2b a^2,rhom,
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rhom=M2pi^2b a^2

Passo 5

O momento de inércia em torno de z é
Iz=integral r^2,dm=rhomintegral0^2pi!dθintegral0^2pi!dφintegral0^a(b+ρcosφ)^2,dV

Passo 6

Substituindo dV e integrando em θ surge fator 2π, ficamos com
Iz=2pirhomintegral0^2pi!dφintegral0^a(b+ρcosφ)^3,ρ,dρ

Passo 7

Expandindo (b+ρ\cosφ)^3 e integrando em φ vai anular termos ímpares de cosφ. Restam apenas
integral0^2pi(b^3+3bρ^2cos^2φ),dφ=2pi b^3+3bpi ρ^2,
e depois em ρ de 0 a a:
integral0^a(b^3ρ+3bρ^3/2),dρ=pi b^3a^2+tfrac3pi b a^44

Passo 8

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Iz=2pi^2rhoml(b^3a^2+tfrac34b a^4r)

Passo 9

Substituindo ρ_m=M/(2π^2b a^2) obtemos
Iz=Ml(b^2+tfrac34a^2r)

Resposta

I_z = M\Bigl(b2+\tfrac{3}{4}a2\Bigr)

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