Seja f: X subseteq R^2 R definida por f(x, y)=x^2(1-y)^3+y^2. Mostre que f tem um ponto crítico, mas não tem máximo ou mínimo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que a função f: R^2toR, definida por f(x,y)=x^2(1-y)^3+y^2, tem um ponto crítico (i.e. um lugar onde o gradiente é zero), mas não admite máximo ou mínimo absoluto (i.e. é não limitada acima e abaixo). Vamos usar derivadas parciais, a Hessiana e estudar o comportamento de f no infinito.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f: em linha,
partial fpartial x(x,y)=2x(1-y)^3,
partial fpartial y(x,y)=-3x^2(1-y)^2+2y

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos as duas a zero. Da primeira condição 2x(1-y)^3=0 vem ou x=0 ou y=1. Se y=1, então partial f/partial y=2ne0, não serve. Logo deve ser x=0. Substituindo em partial f/partial y temos 2y=0, ou seja y=0. Assim o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para ver que é um mínimo local, estudamos a Hessiana em (0,0). As segundas derivadas são:
fxx=2(1-y)^3, fxy=-6x(1-y)^2, fyy=6x^2(1-y)+2

Passo 5

Em (0,0) isso fica
Hf(0,0)= 2 & 0 0 & 2 ,
que é positiva definida (ambos autovalores positivos), logo (0,0) é mínimo local. Porém isso não garante ser mínimo absoluto.

Passo 6

Para ver que não há mínimo absoluto note que, mantendo y>1 fixo grande, escolhemos x também grande: f(x,y)=x^2(1-y)^3+y^2approx -x^2(y-1)^3+y^2, que tende a -infty quando xtoinfty, pois (1-y)^3<0. Assim f não tem limite inferior; analogamente, para y<1 negativo e x grande, o termo x^2(1-y)^3 cresce positivamente e faz fto+infty. Portanto f não tem nem mínimo nem máximo absoluto.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é mínimo local, e f é não limitada acima e abaixo, logo não possui máximo nem mínimo absoluto.

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