Seja
definida por
. Mostre que
tem um ponto crítico, mas não tem máximo ou mínimo absoluto.
Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar que a função f:
, definida por
, tem um ponto crítico (i.e. um lugar onde o gradiente é zero), mas não admite máximo ou mínimo absoluto (i.e. é não limitada acima e abaixo). Vamos usar derivadas parciais, a Hessiana e estudar o comportamento de f no infinito.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f: em linha,
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos as duas a zero. Da primeira condição
vem ou
ou
. Se
, então
, não serve. Logo deve ser
. Substituindo em
temos
, ou seja
. Assim o único ponto crítico é (0,0).
Passo 4
Para ver que é um mínimo local, estudamos a Hessiana em (0,0). As segundas derivadas são:
Passo 5
Em (0,0) isso fica
que é positiva definida (ambos autovalores positivos), logo (0,0) é mínimo local. Porém isso não garante ser mínimo absoluto.
Passo 6
Para ver que não há mínimo absoluto note que, mantendo
fixo grande, escolhemos
também grande:
, que tende a
quando
, pois
. Assim f não tem limite inferior; analogamente, para
negativo e
grande, o termo
cresce positivamente e faz
. Portanto f não tem nem mínimo nem máximo absoluto.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é mínimo local, e f é não limitada acima e abaixo, logo não possui máximo nem mínimo absoluto.