Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
em que
é o vetor com os valores da média (
e
são constantes) e
é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Utilizando a mesma transformação de coordenadas do item anterior, calcule
Este resultado é conhecido como a correlação linear entre as variáveis
e
. Verifique que este resultado ao coeficiente
da matriz inversa
.
Passo 1
A gente tem uma densidade Gaussiana 2D
onde
,
e
. Queremos calcular
ou seja a correlação linear entre
Passo 2
Primeiro a gente faz o deslocamento de origem definindo
e
. Assim
Como
Passo 3
Para diagonalizar o termo quadrático do expoente, definimos a mudança de variáveis
cujo jacobiano é
. Então o expoente vira
e o fator de normalização ajusta para a densidade normal padrão, ficando
Passo 4
A gente inverte
escrevendo
logo
Daí
Passo 5
Como
e
são independentes e normais padrão, valem
e idem para
Passo 6
Reconhecemos que
cujo elemento
exatamente o que encontramos para
.