Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
p(x, y)=K e^-12(r-m)^T A(r-m)
em que r=(x, y)^T, m=(mu, omega)^T é o vetor com os valores da média ( mu e omega são constantes) e A=M^T M é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Utilizando a mesma transformação de coordenadas do item anterior, calcule
M=[ll a & b b & c ]
Este resultado é conhecido como a correlação linear entre as variáveis C=integralegral duplaR^2 x y p(x, y) d x d y-mu omega e x. Verifique que este resultado ao coeficiente y da matriz inversa B12.

Passo 1

A gente tem uma densidade Gaussiana 2D p(x,y)=K,e^-tfrac12( r- m)^T A( r- m) onde r=(x,y)^T, m=(mu,omega)^T e A=M^T M. Queremos calcular
C=integral dupla R^2x,y,p(x,y),dx,dy-mu,omega,
ou seja a correlação linear entre x e y.

Passo 2

Primeiro a gente faz o deslocamento de origem definindo xi=x-mu e eta=y-omega. Assim
C=integral dupla(xy)p,dx,dy-muomega=integral dupla(xi+mu)(eta+omega)p,dxi,deta-muomega
Como integralxi,p=0 e integraleta,p=0, sobra
C=integral duplaxi,eta,p(xi,eta),dxi,deta

Passo 3

Para diagonalizar o termo quadrático do expoente, definimos a mudança de variáveis
uv=Mxieta,
cujo jacobiano é |det M|. Então o expoente vira -tfrac12(u^2+v^2) e o fator de normalização ajusta para a densidade normal padrão, ficando
p(xi,eta),dxi,deta=12pie^-tfrac12(u^2+v^2),du,dv

Passo 4

A gente inverte M escrevendo
xieta=M^-1uv,
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xi=M^-111u+M^-112v,eta=M^-121u+M^-122v
Daí
xi,eta=(M^-111u+M^-112v)(M^-121u+M^-122v)

Passo 5

Como u e v são independentes e normais padrão, valem
integral u v,e^-tfrac12(u^2+v^2)du,dv=0, integral u^2,e^-tfrac12(u^2+v^2)du,dv=2pi,
e idem para v^2. Montando o integral:
C=M^-111M^-121cdot1+M^-112M^-122cdot1=M^-111M^-121+M^-112M^-122

Passo 6

Reconhecemos que
A^-1=(M^T M)^-1=M^-1M^-T,
cujo elemento (1,2) é
(A^-1)12=M^-111M^-121+M^-112M^-122,
exatamente o que encontramos para C.

Resposta

(A^-1)12

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